【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习-课后作业(三十九)直接证明与间接证明-文VIP免费

课后作业(三十九)直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥03．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是()A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是()A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若mα，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n5．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A二、填空题6．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x＞0时，2x＋的最小值为2；②若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝.类比到空间，若三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S—ABC的外接球的半径R＝.其中错误命题的序号为________．8．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．三、解答题19．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明＞c.11．(2013·珠海模拟)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】B2．【解析】a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0.【答案】D3．【解析】∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，∴P2＜Q2，∴P＜Q.【答案】C4．【解析】对于平面α和共面直线m、n.设m，n确定的平面为β，对于C，若mα，则m＝α∩β，从而n∥α可得m∥n，因此C正确．【答案】C5．【解析】∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数，∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.【答案】A二、填空题6．【解析】要使＋≥2，只要＞0且＞0，所以a，b不为0且同号即可，故有3个．【答案】37．【解析】对于①，2x＋取得最小值为2的条件是x＝0，这与x＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】①8．【解析】∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f()＝f()，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，2所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.【答案】三、解答题9．【证明】(1)x是正实数，由基本不等式知x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x＞0时，不等式成立．当x≤0时，8x3≤0，又(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，∴是f(x)＝0的一个根．即是函数f(x)的一个零点．(2)假设0，由00，知f()>0与f()＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴>c.11．【解】A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：∵＋＝，∴＋＝3，∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝＝，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．3