抛物线的简单的几何性质VIP免费

2008年11月18日星期二xyOKＨFMl1、抛物线的定义，代数表达式，标准方程。2．前面我们学习了椭圆哪些几何性质？你能类比探究出抛物线的几何性质吗？复习xyOＨFxyOＨFxyOＨFxOＨFy1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率e=1x≥0x轴(0，0)y2=2px(p>0)1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率e=1y≥0y轴(0，0)x2=2py(p>0)1、已知抛物线关于x轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标准方程.)22,2(M22=2px(p>0),M2222p4=4xyy分析：可设抛物线方程为：将点（，－）代入，可得＝抛物线方程为：例1、斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求AB的长.解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A、B坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|.例题讲解解法二(数形结合)：由右图集抛物线的定义可知：|AF|=|AA’|，|BF|=|BB’|，所以|AB|=|AA’|+|BB’|=x1+1+x2+1=x1+x2+2即只要求出x1+x2即可求出|AB|xyOA’FAB’B解：∵p=2，∴焦点F(1,0)，准线l：x=-1则直线l的方程为：y=x-1，代入y2=4x化简得：x2-6x+1=0所以|AB|=|AA’|+|BB’|=x1+x2+2=8∴线段|AB|的长为8。∴x1+x2=6设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2pxyOA’FAB’B例题讲解xyOFAB解：），（焦点02PF)2Px(ky:lAB代入y2=2px化简得：04Pkx)2ppk(xk2222例2、直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点,求证：1)2)y1y2=-p2.4pxx2214pxx2212、过抛物线焦点的直线与抛物线相交于A、B两点,过点A和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.分析：根据已知条件写出AB所在的直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A、B坐标，进而写出AO的直线方程，求出它与准线的交点D，观察B、D坐标，判断结果。变式训练AxyOFDB2、过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.22222y=kx+1,=2x,+(2k-2)x+1=0,4011k=,y=x+1.22y(2k-2)kxk解：设直线方程为代入整理得：由＝－＝，得直线方程为y=1,x=0(1y=x+1,y=1x=02y故，符合另：直线直线即轴）也符合要求的直线共有三条：，！3、过抛物线y2=2x的顶点做互相垂直的二弦OA、OB.（1）求AB中点的轨迹方程；（2）证明：AB与x轴的交点为定点。2212121221220AOB11221212121212121222221212121AB22122OAOB=-1=-1,1244412+MABx=,y=,22++22(+)+222x-812==444yyyyxxxxyyy4xyxkkxxyyyy)xxxxxxxxy+yxxyyyyyyxxy（）设（，），（，），则＝，＝，即＝－＝，又，点为中点，(－=x-2y(2AB(2,0)）过定点2221212121212121211212121212()()2()212AB221()2(0),AB(2p,0).()22(2),AB(20)ABAB2,ppppyxppyxppxppxpyyyyyyyxxyyxxyyxxyyxxyyyyyyxx证明如下：当时，的方程为：直线必过定点，若无斜率，即＝时，直对于有必过线的定点方程为也必过定(20)p点，。