【师说】2015-2016学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测新人教A版必修2时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.答案：D2.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：因为a∥α，a⊂β，α∩β＝b，所以a∥b.又因为a与α无公共点，所以α内与b相交的直线与a异面．答案：C3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接EG，B1G，B1F，则：A1E∥B1G，故∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角．由AA1＝AB＝2，AD＝1可得B1G＝，GF＝，B1F＝，∴B1F2＝B1G2＋GF2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.答案：D4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()①②1③④A．①③B．①④C．②③D．②④解析：如图所示：平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，故①正确．④中易证NP∥AB，故AB∥平面MNP.②③不正确．答案：B5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.答案：D6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°，直线AC，AB都满足条件，故选B.答案：B7.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.解析：取正三角形ABC的中心O，连结OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．2因为底面边长为，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的体积为×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝.答案：B8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：由题意知三棱锥A1－ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝a(即点B1到底面ABC的距离)，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为＝，故选B.答案：B9．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE， AC＝，其余各棱长都为1，∴AD⊥CD，∴EF⊥CD.又 BF⊥CD，∴∠BFE是二面角A－CD－B的平面角． EF＝，BE＝，BF＝，∴EF2＋BE2＝BF2.∴∠BEF＝90°，∴cos∠BFE＝＝，故选C.答案：C10.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：如图，设AB＝a，则AA1＝2a，三棱锥C－BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为α.因为VC－BDC1＝VC1－BDC，即××a×ah＝×a2×2a，解得h＝a.所以sinα＝＝.答案：A11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD...
