第9课时空间几何中的平行和垂直的综合应用基础达标(水平一)1.已知α,β为平面,a,b,c为直线,则下列命题中正确的是().A.a⊂α,若b∥a,则b∥αB.α⊥β,α∩β=c,b⊥c,则b⊥βC.a⊥b,b⊥c,则a∥cD.a∩b=A,a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β【解析】选项A中,b⊂α或b∥α,故A错误.选项B中,b与β不一定垂直,故B错误.选项C中,a∥c或a与c异面或a与c相交,故C错误.利用面面平行的判定定理,可知D正确.【答案】D2.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是().A.若m∥α,α∩β=n,则m∥nB.若m⊥α,n⊥m,则n∥αC.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥nD.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β【解析】对于A,m∥α,α∩β=n,则m∥n或m与n异面,故A错误;对于B,若m⊥α,n⊥m,则n∥α或n⊂α,故B错误;对于C,若n⊥β,α⊥β,则n∥α或n⊂α,又m⊥α,所以m⊥n,故C正确;对于D,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m可能与β相交或与β平行或在β内,故D错误.故选C.【答案】C3.在三棱锥A-BCD中,AD与BC互相垂直,且AB+BD=AC+CD.则下列结论中错误的是().A.若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高,则这两条高所在直线异面B.若分别作△BAD和△CAD的边AD上的高,则这两条高长度相等C.AB=AC且DB=DCD.∠DAB=∠DAC【解析】如图,作BE⊥AD交AD于点E,连接CE.因为AD⊥BC,所以AD⊥平面BEC,所以AD⊥CE.设AB+BD=AC+CD=m,则BE2=AB2-AE2=(m-AB)2-DE2,可得AB=.同理,AC=,所以AB=AC.故△ABD≌ACD.【答案】A4.若a,b为异面直线,则下列结论不正确的是().A.必存在平面α使得a∥α,b∥αB.必存在平面α使得a,b与α所成角相等C.必存在平面α使得a⊂α,b⊥α,D.必存在平面α使得a,b与α的距离相等【解析】选项C中,由线面垂直的性质定理知,当a,b不垂直时,不存在平面α使得a⊂α,b⊥α,故错误.【答案】C5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=.若过点P、M、N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ=.【解析】如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD,∴MN∥PQ.又MN∥AC,∴PQ∥AC. AP=,∴===,∴PQ=AC=a.【答案】a6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.【解析】如图,连接AB1,B1D1,B1C,BD. DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面AB1C. EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.7.如图,△ABC是正三角形,AE与CD均垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.求证:(1)DF∥平面ABC;(2)AF⊥BD.【解析】(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG,则FGAE. CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,∴CD∥AE.又CD=AE.∴FGCD. FG⊥平面ABC,∴四边形CDFG是矩形,DF∥CG.又CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,∴DF∥平面ABC.(2)在Rt△ABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,∴AF⊥BE. △ABC是正三角形,∴CG⊥AB,∴DF⊥AB.又DF⊥FG,FG∩AB=G,∴DF⊥平面ABE. AF⊂平面ABE,∴DF⊥AF. BE∩DF=F,∴AF⊥平面BDF.又BD⊂平面BDF,∴AF⊥BD.拓展提升(水平二)8.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是().A.AD⊥平面BCDB.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC.【答案】D9.设m,n,l是三条不同的直线,α是一个平面,l⊥m,则下列说法正确的是().A.若m⊄α,l⊥α,则m∥αB.若l⊥n,则m⊥nC.若l⊥n,则m∥nD.若m∥n,n⊂α,则l⊥α【解析】若l⊥m,l⊥n,则m与n可能平行,也可能相交或异面,故B,C都不正确;由l⊥m,m∥n,可得l⊥n,但不一定有l⊥α,故D不正确;A正确.故选A.【答案】A10.如图,在边长为4cm的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,M,N分别为AB,CF的中点,现沿AE,AF,EF折叠,使B,C,D三点重合,重合后的点记为B,构成一个三棱锥,则MN与平面AEF的位置...
