课时分层作业(十一)函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像是()A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称A[由于T＝＝π，得ω＝2，则f(x)＝sin.当x＝时，sin＝0，∴该函数的图像关于点对称，故选A.]2．函数y＝8sin取最大值时，自变量x的取值集合是()A.B.C.D.B[∵y的最大值为8，此时sin＝1，即6x＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，故选B.]3．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于()A．3B．2C．D．C[由题意知，函数在x＝处取得最大值1，所以1＝sin，即ω＝，故选C.]4．函数y＝sin2x的一个单调递增区间可以是()A.B.C.D.A[由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故当k＝0时的单调递增区间为.]5．将函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是()A．非奇非偶函数B．既奇又偶函数C．奇函数D．偶函数C[将函数y＝sin的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin＝sin＝sin2x，为奇函数，故选C.]二、填空题6．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.－[由－≤x≤0知－≤2x＋≤，当2x＋＝－，即x＝－时，y＝sin取最小值－1，故y＝1－3sin取最大值4.]7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin的最大值是________，最小值是________．－[∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.∵当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－，当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝.]8．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)有下列命题，其中正确的是________．(填序号)①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)的图像关于点对称；④y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．①③[因为4sin＝4cos＝4cos，所以①正确，易得②不正确，而f＝0，故是对称中心，③正确，④不正确．]三、解答题9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图像如图所示，(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．[解](1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.(2)T＝，则ω＝2，又x＝－时，y＝0，所以sin＝0，而－<φ<，则φ＝，所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．[解]因为f>f(π)，故sin(π＋φ)>sinφ，得sinφ<0，又f(x)≤对x∈R恒成立，故f＝±1，即sin＝±1，＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.又sinφ<0，取φ＝－，故f(x)＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.故f(x)的单调递增区间是，k∈Z.[等级过关练]1．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是()D[当a＝0时f(x)＝1，C符合，当0<|a|<1时T>2π，且最小值为正数，A符合，当|a|>1时T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A、B、C.D项中，由振幅得a>1，∴T<2π，而由图像知T>2π矛盾，故选D.]2．将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增B[由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，选项B满足条件，故选B.]3．ω为正实数，函数f(x)＝2sinωπx的周期不超过1，则ω的最小值是________．2[由≤1，得ω≥2.即ω的最小值为2.]4．设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．2[若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)≤f(x)min且f(x2)≥f(x)max，当且仅当f(x1)＝f(x)min，f(x2)＝f(x)max时，|x1－x2|的最小值为f(x)＝2sin的半个周期，即|x1－x2|min＝×＝2.]5．已知方程sin＝k在x∈[0，π]上有两个解，求实数k的取值范围．[解]令y1＝sin，y2＝k，在同一坐标系内作出它们的图像(0≤x≤π)，由图像可知，当1≤k<时，直线y2＝k与曲线y1＝sin在0≤x≤π上有两个公共点，即当1≤k<时，原方程有两个解．
