2.3空间直角坐标系[A.基础达标]1．若P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则一定有()A．a＝b＝0B．a＝c＝0C．b＝c＝0D．a＝b＝c＝0解析：选B.平面xOy内的点，z坐标为0；平面yOz内的点，x坐标为0.2．在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是()A．3或5B．－3或－5C．3或－5D．－3或5解析：选A.由已知得＝，解得a＝3或a＝5.3．若△ABC的顶点坐标分别为A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)，则△ABC的重心坐标为()A.B.C.D.解析：选B.设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，其重心坐标为，故所求重心坐标为.4．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.所以△ABC为直角三角形．5．不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A(1，0，4)，B(3，－2，6)，则该正方体的棱长等于()A．1B.C．2D.解析：选C.依题意，正方体的对角线的长为|AB|＝＝2，设正方体的棱长为a，则有a＝2，解得a＝2.6．已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B关于点A的对称点C的坐标为________．解析：设C点的坐标为(x，y，z)，则，解得.则C点的坐标为(－11，5，14)．答案：(－11，5，14)7．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为________．解析：因为点P在x轴上，所以设点P的坐标为(x，0，0)．由题意|PP1|＝2|PP2|，所以＝2，解得x＝±1.所以所求点的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．答案：(1，0，0)或(－1，0，0)8．已知A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)，则△ABC是________三角形．(填三角形的形状)解析：|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰9．在三棱锥SABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，且SA＝AB＝AC＝a，D为BC的中点E为SD的中点，建立适当的坐标系，求点S，A，B，C，D，E的坐标．解：因为在三棱锥SABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，所以以点A为坐标原点，AB，AC，AS所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为SA＝AB＝AC＝a，D为BC的中点，所以A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，S(0，0，a)，D，连接AD，因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，则有平面SAD⊥平面ABC，交线为AD，过点E作EF⊥AD，垂足为F，则EF⊥平面ABC.因为E为SD的中点，所以F为AD的中点，所以EF＝AS，所以E，即点S(0，0，a)，A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，D，E.10．已知点A，B，C的坐标分别为A(3，－2，－1)，B(－1，－3，2)，C(－5，－4，5)，求证：A，B，C三点共线．证明：由点A，B，C的坐标，得|AB|＝＝，|AC|＝＝2，|BC|＝＝，所以|AC|＝|AB|＋|BC|，所以A，B，C三点共线．[B.能力提升]1．已知三点A，B，C的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于()A．28B．－28C．14D．－14解析：选D.因为AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形，∠A＝90°.所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.而|BC|2＝λ2－2λ＋146，|AB|2＝44，|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.2.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOA′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为()A.aB.aC．aD.a解析：选B.因为A′(a，0，a)，C(0，a，0)，E点坐标为，而F.所以|EF|＝＝a，所以选B.3．如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点坐标为________．解析：因为|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，所以A(0，0，2)，A1(0，2，2)，B(3，0，2)，B1(3，2，2)．M是OB1的中点，所以M点坐标为，即.答案：4．已知x，y，z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：x2＋y2＋z2表示坐标原点(0，0，0)到点(x，y，z)的距离的平方，则点(0，0，0)到(3，4，－5)的距离d＝＝5，则x2＋y2＋z2的最小值为(5－)2＝(4)2＝32.答案：325．在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)...
