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高考数学一轮复习 专题11.3 证明练习(含解析)-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学一轮复习 专题11.3 证明练习(含解析)-人教版高三全册数学试题_第1页
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11.3证明一.直接证明(1)定义:直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法.(2)一般形式⇒A⇒B⇒C…⇒⇒本题结论.(3)综合法①定义:从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.②推证过程……⇒⇒⇒(4)分析法①定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.②推证过程……⇐⇐⇐二.间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等.(2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真.②归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果.③存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.【套路秘籍】---千里之行始于足下【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始考向一综合法【例1】已知,且,求证:.【答案】证明见解析【解析】由,得,即,所以,所以,故原等式成立.【举一反三】1.已知函数f(x)=(xa−a)lnx(a>0).(1)若函数f(x)在¿上是增函数,求正数a的取值范围;(2)当a≠1时,设函数f(x)的图象与x轴的交点为A,B,曲线y=f(x)在A,B两点处的切线斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2<0.【答案】(1)¿;(2)见解析.【解析】(1) f(x)=(xa−a)lnx(a>0),∴f'(x)=xlnx+x−a2ax,设g(x)=xlnx+x−a2, 函数f(x)在¿上是增函数,∴g(x)=xlnx+x−a2≥0在¿上恒成立,即a2≤xlnx+x在¿上恒成立,设h(x)=xlnx+x,则h'(x)=lnx+2, x≥1,∴h'(x)≥2,∴h(x)=xlnx+x在¿上是增函数,∴h(x)≥1,由a2≤xlnx+x在¿上恒成立,得a2≤1, a>0,∴00,x>1时,F'(x)<0,所以x=1为F(x)=lnx−x+1的极大值点,所以F(x)=lnx−x+1的极大值即最大值为F(1)=0,即F(x)=lnx−x+1≤0, a>0且a≠1,∴a2>0且a2≠1,∴F(a2)=lna2−a2+1<0,∴k1+k2=lna2−a2+1a<0.2.若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.【答案】见解析【解析】证明 a,b,c∈(0,+∞),∴≥>0,≥>0,≥>0.由于a,b,c是不全相等的正数,∴上述三个不等式中等号不能同时成立,∴··>abc>0成立.上式两边同时取常用对数,得lg>lg(abc),∴lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.考向二分析法【例2】11.已知,,且,试用分析法证明不等式.【答案】见解析【解析】要证,只需证,只需证,因为只需证,只需证,即证或,只需证,而由,可得,所以.【举一反三】1.(1)已知a>0,b>0,用分析法证明:a❑√b+b❑√a≥❑√a+❑√b;(2)已知a¿0,用分析法证明:❑√a2+1a2−❑√2≥a+1a−2.【答案】(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析.【解析】(1)要证a❑√b+b❑√a≥❑√a+❑√b,只需证a❑√a+b❑√b≥a❑√b+b❑√a,即证(a−b)(❑√a−❑√b)≥0,因为a¿0,b>0,a−b与❑√a−❑√b同号,所以(a−b)(❑√a−❑√b)≥0成立,所以a❑√b+b❑√a≥❑√a+❑√b成立.(2)要证❑√a2+1a2−❑√2≥a+1a−2,只要证❑√a2+1a2+2≥a+1a+❑√2.因为a¿0,故只要证(❑√a2+1a2+2)2≥(a+1a+❑√2)2,即证a2+1a2+4❑√a2+1a2+4≥a2+2+1a2+2❑√2(a+1a)+2,从而只要证2❑√a2+1a2≥❑√2(a+1a),只要证4(a2+1a2)≥2(a2+1a2+2),即证a2+1a2≥2,而上述不等式显然成立,故❑√a2+1a2−❑√2≥a+1a−2.考向三反证法【例3】设,且,,,用反证法证明:至少有一个大于。【答案】见证明【解析】证明:(反证法)假设结论不成立,即,而这与相矛盾故至少有一个大于。【套路总结】应用反证法证明数学命题,一般有以下几个步骤:第一步:分清命题“p⇒q”的条件和结论;第二步:作出与命题结论q相反的假设綈q;【举一反三】1.(1)已知,试用反证法证明:中至少有一个不小于1;(2)已知实数,,,满足,,求证:,,,中至少有一个是负数.【...

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