高考数学一轮复习 专题11.3 证明练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

11.3证明一．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式⇒A⇒B⇒C…⇒⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．②推证过程……⇒⇒⇒(4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②推证过程……⇐⇐⇐二．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．(2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．【套路秘籍】---千里之行始于足下【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一综合法【例1】已知，且，求证：.【答案】证明见解析【解析】由,得，即，所以，所以，故原等式成立．【举一反三】1．已知函数f(x)=(xa−a)lnx(a>0).（1）若函数f(x)在¿上是增函数，求正数a的取值范围；（2）当a≠1时，设函数f(x)的图象与x轴的交点为A，B，曲线y=f(x)在A，B两点处的切线斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2<0.【答案】（1）¿；（2）见解析.【解析】（1） f(x)=(xa−a)lnx(a>0)，∴f'(x)=xlnx+x−a2ax，设g(x)=xlnx+x−a2， 函数f(x)在¿上是增函数，∴g(x)=xlnx+x−a2≥0在¿上恒成立，即a2≤xlnx+x在¿上恒成立，设h(x)=xlnx+x，则h'(x)=lnx+2， x≥1，∴h'(x)≥2，∴h(x)=xlnx+x在¿上是增函数，∴h(x)≥1，由a2≤xlnx+x在¿上恒成立，得a2≤1， a>0，∴00，x>1时，F'(x)<0，所以x=1为F(x)=lnx−x+1的极大值点，所以F(x)=lnx−x+1的极大值即最大值为F(1)=0，即F(x)=lnx−x+1≤0， a>0且a≠1，∴a2>0且a2≠1，∴F(a2)=lna2−a2+1<0，∴k1+k2=lna2−a2+1a<0.2．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.【答案】见解析【解析】证明 a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥>0，≥>0，≥>0.由于a，b，c是不全相等的正数，∴上述三个不等式中等号不能同时成立，∴··>abc>0成立．上式两边同时取常用对数，得lg>lg(abc)，∴lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.考向二分析法【例2】11．已知，，且，试用分析法证明不等式．【答案】见解析【解析】要证，只需证，只需证，因为只需证，只需证，即证或，只需证，而由，可得，所以．【举一反三】1．（1）已知a>0，b>0，用分析法证明：a❑√b+b❑√a≥❑√a+❑√b；（2）已知a¿0，用分析法证明：❑√a2+1a2−❑√2≥a+1a−2．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】（1）要证a❑√b+b❑√a≥❑√a+❑√b，只需证a❑√a+b❑√b≥a❑√b+b❑√a，即证(a−b)(❑√a−❑√b)≥0，因为a¿0，b>0，a−b与❑√a−❑√b同号，所以(a−b)(❑√a−❑√b)≥0成立，所以a❑√b+b❑√a≥❑√a+❑√b成立．（2）要证❑√a2+1a2−❑√2≥a+1a−2，只要证❑√a2+1a2+2≥a+1a+❑√2．因为a¿0，故只要证(❑√a2+1a2+2)2≥(a+1a+❑√2)2，即证a2+1a2+4❑√a2+1a2+4≥a2+2+1a2+2❑√2(a+1a)+2，从而只要证2❑√a2+1a2≥❑√2(a+1a)，只要证4(a2+1a2)≥2(a2+1a2+2)，即证a2+1a2≥2，而上述不等式显然成立，故❑√a2+1a2−❑√2≥a+1a−2．考向三反证法【例3】设，且，，，用反证法证明：至少有一个大于。【答案】见证明【解析】证明：（反证法）假设结论不成立，即，而这与相矛盾故至少有一个大于。【套路总结】应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；【举一反三】1．（1）已知，试用反证法证明：中至少有一个不小于1；（2）已知实数，，，满足，，求证：，，，中至少有一个是负数．【...