14平面向量的基本定理时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．设a，b是不共线的两个非零向量，已知AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为()A．1B．2C．－2D．－1答案：D解析：BD＝BC＋CD＝2a－b，AB＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴，∴p＝－1.2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e1，DC＝e2，则OC＝()A.(e1＋e2)B.(e1－e2)C.(2e2－e1)D.(e2－e1)答案：A解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e1，DC＝e2，所以OC＝(BC＋DC)＝(e1＋e2)，故选A.3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．150°答案：A解析：使平面向量a，b有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等，可得向量－a与－b的夹角也是60°.4．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－bD．a与－b答案：C解析：由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．5．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝3PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝答案：D解析：由已知BP＝3PA，得OP－OB＝3(OA－OP)，整理，得OP＝OA＋OB，故x＝，y＝.6．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：对于①，若向量a、b确定，因为a－b是确定的，故总存在向量c，满足c＝a－b，即a＝b＋c故正确；对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ、μ，满足a＝λb＋μc，故正确；对于③，如果a＝λb＋μc，则以|a|、|λb|、|μc|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数μ确定，则一定存在单位向量c和实数λ满足a＝λb＋μc，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|，|λb|、|μc|为三边长可构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误．故选C.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．设G是△ABC的重心(即三条中线的交点)，AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AG＝________.答案：a＋b.解析：延长AG交BC于D.∵AG＝AD＝(AB＋BD)＝(AB＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.8．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.答案：－2或解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.答案：解析：由题意，知AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD.又AC＝λAE＋μAF，所以AC＝AB＋AD，故，所以λ＋μ＝.三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．如图，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，试用a，b表示MN.解析：由AN＝3NC，知N为AC的四等分点.MN＝MC＋CN＝AD－AC＝AD－(AB＋AD)＝－AB＋AD＝－a＋b.11．已知AP＝λAB(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．(1)试以OA，OB为基底表示OP；(2)当λ＝时，试确定点P的位置．解析：(1)∵AP＝OP－OA，AB＝OB－OA，由AP＝λAB得(OP－OA)＝λ(OB－OA)，∴OP＝λOB＋(1－λ)OA.(2)当λ＝时，由(1)可知OP＝OB＋OA＝(OA＋OB)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．12．如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．解析：设AB＝a，AD＝b，则BD＝AD－AB＝b－a，AF＝AD＋DF＝AD＋AB＝b＋a.因为A、E、F与B、D、E分别共线，所以存在实数λ，μ∈R，使AE＝λAF，BE＝μBD.于是AE＝a＋λb，BE＝μb－μa.由AB＋BE＝AE得，(1－μ)a＋μb＝a＋λb.因为a，b不共线，由平面向量基本定理，得1－μ＝且μ＝λ.解得λ＝μ＝，∴BE＝BD.即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点．
