课时分层作业(八)垂直关系的判定(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．斜交C．平行D．不能确定A[梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理知选项A正确．]2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DBB[连接A1D、B1C，由ABCDA1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.]3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γA[B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．]4．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角αlβ的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定C[若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.]5．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对D[ DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]二、填空题6．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．4[⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.1[由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC.连接BC(图略)，则BC＝＝＝1.]8．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．[如图所示，设正四面体ABCD的棱长为1，顶点A在底面上的射影为O，连接DO，并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成的二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝，EO＝ED＝×＝，∴cos∠AEO＝＝.]三、解答题9．如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.[证明]设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[解](1)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.[等级过关练]1．以下命题正确的是()①⇒a⊥β；②⇒b∥α；③⇒b⊥α.A．①B．①③C．②③D．①②A[①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中b，α的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．]2．如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABCD[因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.]3．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60...
