第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在等比数列{an}中,a5=3,则a2·a8=()A.3B.6C.8D.9解析:a2·a8=a52=32=9.答案:D2.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则a1-a2b2的值等于()A.-12B.12C.±12D.14解析: b22=1×4=4,∴b2=2或b2=-2(舍去).又a2-a1=4-14-1=1,∴a1-a2b2=-12=-12.答案:A3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于()A.4B.2C.-2D.-4解析:由{2b=a+c,a2=bc,a+3b+c=10,解得a=-4或a=2.又当a=2时,b=2,c=2,与题意不符,故a=-4.答案:D4.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m=()A.9B.10C.11D.12解析:因为{an}是等比数列,所以a1a5=a2a4=a32,于是a1a2a3a4a5=a35.从而am=a35=(q2)5=q10=1×q11-1,故m=11.答案:C5.在正项等比数列{an}中,1a2a4+2a42+1a4a6=81,则1a3+1a5等于()A.19B.3C.6D.9解析: 1a2a4+2a42+1a4a6=81,1∴1a32+2a3a5+1a52=81,∴(1a3+1a5)2=81. 数列各项都是正数,∴1a3+1a5=9.答案:D6.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则a1+a3+a9a2+a4+a10=.解析:由题意知a3是a1和a9的等比中项,∴a32=a1a9,∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得a1=d,∴a1+a3+a9a2+a4+a10=13d16d=1316.答案:13167.在1和100之间插入n个正数,使这(n+2)个数成等比数列,则插入的这n个正数的积为.解析:设插入的n个正数为a1,a2,…,an.设M=1·a1·a2·…·an·100,则M=100·an·an-1·…·a1·1,∴M2=(1×100)n+2=100n+2,∴M=100n+22=10n+2,∴a1·a2·…·an=10n.答案:10n8.导学号33194020在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,所有公比相等,则a+b+c的值为.ab612c解析:设公比为q,由题意知q=2b,q2=c6.第四行最后一个数为cq=c2b=bc2.2因为每一行成等差数列,所以2×2=1+bc2,即bc=6.因为4b2=c6,所以{bc=6,b2c=24,所以{b=4,c=32,所以q=2b=24=12.又1a=q3=(12)3,所以a=8,a+b+c=272.答案:2729.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.解由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d(d≠0),∴a-d+a+a+d=6,∴a=2,∴这三个数分别为2-d,2,2+d.若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d).解得d=6或d=0(舍去),此时三个数分别为-4,2,8;若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数分别为8,2,-4.10.已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn=3an(n∈N+).(1)判断{an}是何种数列;(2)若a8+a13=m,求b1·b2·…·b20.解(1)设数列{bn}的公比为q,则q>0. bn=3an,∴b1=3a1,∴bn=3a1·qn-1,∴3a1·qn-1=3an.①将两边取以3为底的对数得an=log3(3a1·qn-1)=a1+(n-1)log3q=log3b1+(n-1)log3q.∴数列{an}是以log3b1为首项,log3q为公差的等差数列.(2) a1+a20=a8+a13=m,∴a1+a2+…+a20=20(a1+a20)2=10m,∴b1·b2·…·b20=3a1·3a2·…·3a20=3a1+a2+…+a20=310m.B组31.已知0
a2,则an等于()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.±(-2)n-1D.-(-2)n解析: |a1|=1,∴a1=1或a1=-1. a5=-8a2=a2·q3,∴q3=-8,∴q=-2.又a5>a2,即a2q3>a2,∴a2<0.而a2=a1q=a1·(-2)<0,∴a1=1.故an=a1·(-2)n-1=(-2)n-1.答案:A4.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析:由等比数列的性质可得an2=a5·a2n-5=22n=(2n)2, an>0,∴an=2n,故数列首项a1=2,公比q=2,故log2...
