专题11解三角形的技巧与解题规律(2)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2.三角形与三角函数的综合3.正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7．三角形的综合二．【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式三．【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等．以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理．一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四．【题型方法】（一）四边形中的三角形例1.如图，在四边形中，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的长．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得．因为，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，因为，所以．在中，由余弦定理，得．因为所以，即，解得或．又，则．练习1.在平面四边形中，内角B与D互补.，..（Ⅰ）求；（Ⅱ）求四边形的面积。【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），即即，故（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，四边形的面积（二）三角形与数列的综合例2.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边.角A，B，C成等差数列，，，成等比数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的周长.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的周长为。【解析】（Ⅰ）角A，B，C成等差数列，即成等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即由余弦定理可得：化简得，即因此的周长为。练习1．已知中，角的对边分别为．（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依次成等差数列，且公差为，，由余弦定理得：整理得：，解得：或又，则（2）设，外接圆的半径为，则，解得：由正弦定理可得：可得：，，的周长又当，即：时，取得最大值（三）角的范围问题陷阱例3.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是练习1.已知中，分别为角的边，且，且（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因此（2）,因为因此练习2.在中，角所对的边分别是，且（1）求证:为直角三角形；（2），求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】（1）因为，所以，即，因为角为三角形内角，所以角，故，即角，为直角，所以为直角三角形；（2）因为，所以，令，由（1）可知，所以，所以，因此在上单调递减；在上单调递增；故，，又，所以.故的取值范围.（四）边的范围陷阱例4.已知的内角，，的对边分别为，，，，，.（1）求内角的大小；（2）求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，即，由余弦定理得，，由正弦定理得，即，，即，变形得，解得，，∴．（2），，∴由余弦定理得，化简得，，，，，，，，当且仅当时等号成立，∴的最大值为.练习1.已知的内角、、的对边分别为、、，满足且．（1）求角；（2）求周长L的最大值．【答案】（1）（2）9【解析】：（1），由正弦定理得，即，又，所以，又，得（2）在中，由余弦定理得，所以，即，所以，当时，的周长L最大值为9．练习2.在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】（1）由题意知，∴，由余弦定理可知，，又 ，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又 为锐角三角形，∴，即，则，所以，综上的取值范围为.练习3.在锐角中，内角、、的对边分别为，中线，满足.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由余弦定理可得：，即：由已知得...
