限时集训(五十五)抛物线(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝()A.B.C．－D．－2．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是()A．1B．2C．4D．63．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此抛物线方程为()A．y2＝2xB．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6xD．以上都不对4．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线5．(·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是()A．y＝3x2或y＝－3x2B．y＝3x2C．y2＝－9x或y＝3x2D．y＝－3x2或y2＝9x6．(·衡水模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．以抛物线x2＝－4y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．8．(·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点________．9．(·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知圆C过定点F，且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．(1)求曲线E的方程；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．11.若椭圆C1：＋＝1(00)的焦点在椭圆C1的上顶点．(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，又过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．12．(·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．答案限时集训(五十五)抛物线1．D2.B3.C4.A5.D6.B7．x2＋y2＝48.(1,0)9.10．解：(1)由题意，点C到定点F和直线x＝的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.(2)由方程组消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理有y1＋y2＝－，y1y2＝－1.设直线l与x轴交于点N，则N(－1,0)．∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|，＝|ON||y1－y2|＝·1·＝.∵S△OAB＝，所以＝，解得k＝±.11．解：(1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，由离心率e＝＝＝得，b2＝1.则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，所以p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，，F(x2，y2)，∵y＝x2，∴y′＝x.∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，由得x2－4kx－4k＝0，则Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.∴直线l的方程为y＝x＋1.12.解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝，则|TS|＝2＝2，因为点M在曲线C上，所以x0＝，所以|TS|＝2＝2，是定值．
