专题二三角函数与平面向量1．(2016年山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.B.C.D.2．已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的“向量积”，且a×b是一个向量，它的长度|a×b|＝|a||b|sinθ.若u＝(2,0)，u－v＝(1，－)，则|u×(u＋v)|＝()A．4B.C．6D．23．(2017年广东揭阳二模)中国古代数学家赵爽设计的弦图[图Z21(1)]是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图Z21(2)所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图Z21(2)中菱形的一个锐角的正弦值为()(1)(2)图Z21A.B.C.D.4．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________．5．如图Z22，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．图Z226．(2015年新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是__________．7．(2017年广东广州一模)在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>1，AC＝AB＋，当△ABC的周长最短时，BC的长是__________．8．(2016年山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA＋tanB)＝＋.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．9．(2017年江西南昌二模)已知函数f(x)＝2sinx·sin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)锐角三角形ABC的角A，B，C所对边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于点D，直线x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，AD＝BD＝2，求边a.10．(2015年安徽)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．专题二三角函数与平面向量1．C解析：因为b＝c，所以由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA＝2b2(1－cosA)．又因为a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA．因为cosA≠0，所以tanA＝1.因为A∈(0，π)，所以A＝.故选C.2．D解析：由题意得v＝u－(u－v)＝(1，)，则u＋v＝(3，)，cos〈u，u＋v〉＝，则sin〈u，u＋v〉＝.由定义知，|u×(u＋v)|＝|u||u＋v|sin〈u，u＋v〉＝2×2×＝2.故选D.3．A解析：设围成弦图的直角三角形的三边长分别为a，b，c，c>a>b，依题意，得c＝10，a2＋b2＝100，(a－b)2＝4，解得a＝8，b＝6.设小边b所对的角为θ，则sinθ＝＝，cosθ＝，sin2θ＝2sinθcosθ＝.4.＋1解析：方法一， a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.又a·b＝0，∴a⊥b.∴|a＋b|＝.∴|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1.∴c2－2c·(a＋b)＋1＝0.∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∴c2＋1＝2|c||a＋b|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．∴c2＋1＝2|c|cosθ≤2|c|.∴c2－2|c|＋1≤0.图D111∴－1≤|c|≤＋1.∴|c|的最大值为＋1.方法二，建立如图D111所示的平面直角坐标系，由题意，知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设OA＝a＝(1,0)，OB＝b＝(0,1)，OC＝c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)． |c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆．又 |c|＝，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝＋1.5．11解析：方法一，如图D112，以射线AB，AD为x轴，y轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]．则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)．所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1.故DE·DC的最大值为1.方法二，由图D112知，无论点E在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1.当E运动到点B时，DE在DC方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.图D1126．(－，＋)解析：如图D113，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝30°，BC＝2，由正弦定理，可得＝，即＝，解得BE＝＋；平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正弦定理，知＝，即＝，解得BF＝－，所以AB的取值范围为(－，＋)．图D1137．1＋解析：设边AB，BC，AC所对边分别为c，a，b，依题意，有b＝c＋，a>1，C＝60°，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝a2＋2－a.化简，得c...
