第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式[A级基础巩固]1．(2020·黄山模拟)已知x∈，cos＝，则sinx的值为()A．－B.C.D．－解析：因为x∈，所以x＋∈，由cos＝，得sin＝，所以sinx＝sin＝＝.答案：B2．(2020·济南一中质检)已知tanα＝3，α∈，则sin2α＋cos(π－α)的值为()A.B.C.D.解析：由tanα＝3，α∈，得cosα＝，则sin2α＋cos(π－α)＝－cosα＝－cosα＝－＝.答案：A3．已知α，β都是锐角，且sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，则()A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝解析：因为sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，所以sin(α－β)＝cosα＝sin，所以α－β＝－α，即2α－β＝.答案：B4．tan70°·cos10°(tan20°－1)等于()A．1B．2C．－1D．－2解析：tan70°·cos10°(tan20°－1)＝·cos10°＝·＝＝＝－1.答案：C5．(2020·青岛二中质检)已知α，β均为锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，则β等于()A.B.C.D.解析：因为α为锐角且sinα＝，所以cosα＝.因为α，β均为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝＝.又因为β为锐角，所以β＝.答案：A6．(2020·衡水中学质检)已知函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1，tanθ＋＝4，θ∈，则f(θ)的值为()A．2B.C.D．5解析：因为tanθ＋＝＋＝＝＝4.所以sin2θ＝，因为θ∈，所以2θ∈，所以cos2θ＝－＝－.又f(x)＝sin2x－cos2x，所以f(θ)＝sin2θ－cos2θ＝.答案：C7．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________．解析：因为sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②所以①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝－，所以sin(α＋β)＝－.答案：－8．已知sinα＝，α是第二象限角，则tanα＝________，cos(α－60°)＝________．解析：因为sinα＝，且α为第二象限角，所以cosα＝－＝－，则tanα＝＝－，则cos(α－60°)＝cosα＋sinα＝－＋.答案：－－＋9．已知sin＋cosα＝－，则cos＝________．解析：因为sin＋cosα＝－，所以sinα＋cosα＝－，即sin＝－.则sin＝－，故cos＝sin＝sin＝－.答案：－10．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P(－，－)，得sinα＝－.所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P(－，－)，得cosα＝－.由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.[B级能力提升]11．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是()A．α<<βB．β<<αC.<α<βD.<β<α解析：因为α为锐角，sinα－cosα＝>0，所以<α<.又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝，所以α＋β＝，又α>，所以β<<α.答案：B12．已知α∈，β∈，且cos(－α)＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________，tan(α＋β)＝________．解析：因为α∈，cos＝，所以－α∈，sin＝－.因为sin＝－，sin＝.又因为β∈，所以＋β∈，所以cos＝，所以cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.又<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝＝－.答案：－－13．(2020·威海一中检测)已知函数f(x)＝cos2x＋sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈，f(α)＝，求cos2α.解：(1)因为f(x)＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)由f(α)＝可得，sin＝.因为α∈，所以2α＋∈.又因为0
