课时作业24解三角形的应用一、选择题1．以观测者的位置作为原点，东、南、西、北四个方向把平面分成四个象限，以正北方向为始边，按顺时针方向旋转280°到目标方向线，则目标方向线的位置在观测者的()A．北偏东80°B．北偏东10°C．北偏西80°D．北偏西10°解析：注意旋转的方向是顺时针方向，作出相应的图形分析可得正确选项为C.答案：C2．已知△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，且＝，则cosB的值为()A.B.C．－D．－解析：根据正弦定理得＝＝，所以sin＝sinB＝2sincos，所以cos＝，所以cosB＝2cos2－1＝－.答案：C3．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在A处的正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在A处的南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()A.B.C.D.解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝.答案：B4.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是()1A.km2B.km2C.km2D.km2解析：连接AC，根据余弦定理可得AC＝km，故△ABC为直角三角形．且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝xkm，根据余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3×(2－)，所以所求的面积为×1×＋×3×(2－)×＝＝(km2)．答案：D5．(2017·湖南岳阳一模)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果满足条件：asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝()A．2B．2C.D.解析：由正弦定理及asinAsinB＋bcos2A＝a，得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA，所以＝，故选D.答案：D6．(2017·福建漳州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为()A.B.C.D．3解析：由正弦定理及2ccosB＝2a＋b，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB，因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，则2sinC·cosB＝2sin(B＋C)＋sinB，即2sinB·cosC＋sinB＝0，又00，则cosC＝－，因为02，则tanBtanC>1，m>2，又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8.答案：8三、解答题10．已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f()＝－，a＝3，b＋c＝2，求△ABC的面积．解：(1)f(x)＝cosx(sinx－cosx)＝sinxcosx－cos2x＝－－＝sin(2x－)－.当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x∈{x|x＝kπ＋，k∈Z}时，f...
