第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为()A.B．1C.D.解析：cos＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.答案：A2．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为()A．－B.C.D．(0，0)解析：f(x)＝2sin，因为T＝＝2，所以a＝π.所以f(x)＝2sin，所以当x＝时，f(x)＝0.答案：B3．(2017·哈尔滨质检)把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x＝对称，且f(0)＜f，则φ＝()(导学号54850103)A.B.C．－D．－解析：把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位长度之后，得y＝2sin＝2cos(x＋2φ)＝g(x)的图象．根据所得图象关于直线x＝对称，可得g(0)＝g，即2cos2φ＝2cos＝－2sin2φ，即tan2φ＝－1.又f(0)＜f，故有2sin2φ＜2sin＝2cosφ，即sinφ＜，结合选项，φ＝－.答案：C4．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝解析：由题意其中k1，k2∈Z.所以ω＝(k2－2k1)－，又T＝＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω＝.φ＝2k1π＋π，由|φ|＜π得φ＝.答案：A5．(2017·惠州调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f等于()A．1B.C.D.解析：由题中图象可知，f＝f＝0，得到f(x)的一条对称轴为x＝＝，所以x1＋x2＝2×＝，观察题中图象可知f＝1，所以f＝1.答案：A三、填空题6．(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．解析：在区间[0，3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．答案：77．(2017·石家庄质检)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位后得到函数y＝f(x)的图象，已知函数y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐标为的交点，则φ＝________．(导学号54850104)解析：依题意，f(x)＝sin＝cosx.又y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)的图象有一个横坐标为的交点．所以cos＝sin，且0≤φ≤π，则φ＝.答案：8．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，因为函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)＝sin＝±，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，即ω2＝kπ＋(k∈Z)，又f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋≤，取k＝0，则ω＝.答案：三、解答题9．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.(1)解：f(x)＝cos－2sinx·cosx＝cos2x＋sin2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)证明：由(1)知f(x)＝sin.因为x∈，所以2x＋∈.所以当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－.所以f(x)≥－成立．10．(2016·山东卷)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(导学号54850105)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．解：(1)f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝2sin2x－(1－2sinxcosx)＝(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－cos2x＋－1＝2sin＋－1，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，经过变换后，g(x)＝2sinx＋－1，所以g＝2sin＋－1＝.11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2＝2sin.因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin＝0，又0＜|φ|＜，可得φ＝－，所以f(x)＝2sinωx，由题意得＝2·，所以ω＝2.所以f(x)＝2sin2x.因此f＝2sin＝.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得f的图象．所以g(x)＝f＝2sin＝2sin.当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
