课时分层作业(十九)椭圆的标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．若曲线＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是()A．k＞1B．k＜－1C．－1＜k＜1D．－1＜k＜0或0＜k＜1D[ 曲线＋＝1表示椭圆，∴解得－1＜k＜1，且k≠0．]2．焦点坐标为(0,3)，(0，－3)，长轴长为10，则椭圆的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1C[由题意a＝5，c＝3，且焦点在y轴上，∴b＝＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1．]3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是()A．8B．2C．10D．4A[由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|·|PF2|≤＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)．]4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程为()A．＋＝1(x≠0)B．＋＝1(x≠0)C．＋＝1(x≠0)D．＋＝1(x≠0)B[ △ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴BC＝8．AB＋AC＝20－8＝12， 12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，焦点在y轴上，∴a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴点A的轨迹是＋＝1(x≠0)．]5．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A．＋y2＝1B．＋＝11C．＋y2＝1或＋＝1D．以上答案都不对C[直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1．]二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为．＋＝1[由题意可得∴故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1．]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为．＋＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)． 椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．则①②两式联立，解得∴所求椭圆方程为＋＝1．]8．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝．2[由题意S△POF2＝c2＝，∴c＝2，∴a2＝b2＋4．∴点P坐标为(1，)，把x＝1，y＝代入椭圆方程＋＝1中得＋＝1，解得b2＝2．]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．[解]当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1．当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1．2故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1．10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C．∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6．根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6．∴a＝3，c＝2，b＝＝，∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1．11．(多选题)下列命题是真命题的是()A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆D．若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆BD[A中<2，故点P的轨迹不存在；B中2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C中到定点F1(－3，0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D中点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4>8，故点P的轨迹为椭圆．]12．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝13A[设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在...
