第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限[常用结论与易错提醒]1.特殊角的三角函数值α0πsinα010－1cosα10－10tanα01不存在0不存在2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.()(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.()解析(1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立.(4)当k为奇数时，sinα＝，当k为偶数时，sinα＝－.答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.sin600°的值为()A.－B.－C.D.解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.答案B3.已知sin＝－，α∈，则tanα＝()A.B.－C.－D.解析sin＝cosα＝－，又α∈，则sinα＝＝，则tanα＝＝－，故选C.答案C4.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈，则sinθ－cosθ的值为()A.B.－C.D.－解析 sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝.又 (sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，又 θ∈，∴sinθ－cosθ＝－.答案B5.(必修4P22B3改编)已知tanα＝2，则的值为________.解析原式＝＝＝3.答案36.设a为常数，且a>1，0≤x≤2π，则当x＝________时，函数f(x)＝cos2x＋2asinx－1的最大值为________.解析f(x)＝cos2x＋2asinx－1＝1－sin2x＋2asinx－1＝－(sinx－a)2＋a2，因为0≤x≤2π，所以－1≤sinx≤1，又因为a>1，所以当sinx＝1，即x＝时，f(x)max＝－(1－a)2＋a2＝2a－1.答案2a－1考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)(2020·浙江教育绿色评价联盟适考)已知α为第二象限角，且3sinα＋cosα＝0，则sinα＝()A.B.C.－D.－(2)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为()A.－B.C.－D.(3)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝()A.B.C.1D.解析(1)由3sinα＝－cosα，两边平方得9sin2α＝1－sin2α，则sinα＝±，又α为第二角限角，所以sinα＞0，则sinα＝，故选A.(2) <α<，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(3)tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.答案(1)A(2)B(3)A规律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【训练1】(1)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝()A.－1B.－C.D.1(2)若3sinα＋cosα＝0，则的值为()A.B.C.D.－2(3)已知sinα＝，0＜α＜π，则tanα＝__________，sin＋cos＝__________.解析(1)由得：2cos2α＋2cosα＋1＝0，即＝0，∴cosα＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，∴tanα＝tan＝－1.(2)3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝.(3)因为0＜α＜π，所以tanα＝＝±＝±＝±，又0＜＜，所以sin＞0，cos＞0，所以sin＋cos＝＝＝＝.答案(1)A(2)A(3)±考点二诱导公式的应用【例2】(1)化简：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)...
