第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【最新考纲】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能利用两角和(差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝．3．有关公式的变形和逆用(1)公式T(α＋β)的变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)公式C2α的变形：①sin2α＝(1－cos_2α)；②cos2α＝(1＋cos_2α)．(3)公式的逆用①1±sin2α＝(sinα±cosα)2；②sinα±cosα＝sin.4．辅助角公式ɑsinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(其中tanφ＝)．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式ɑsinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．(2015·课标全国Ⅰ卷)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－B.C．－D.解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.答案：D3．(经典再现)已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝()A.B.C.D.解析： sin2α＝，∴cos2＝＝＝＝.答案：A4．(2015·重庆卷)若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝()A.B.C.D.解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.答案：A5．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________．解析：由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.答案：一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．两个技巧1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－.2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等．三种变化1．变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．3．变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．一、选择题1．若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.解析：cosα＝1－2sin2＝1－2×＝.答案：C2.＝()A.B.C．2D.解析：原式＝＝＝2.答案：C3．已知sinα＋cosα＝，则sin2＝()A.B.C.D.解析：由sinα＋cosα＝得1＋sin2α＝，解得sin2α＝－，所以sin2＝＝＝.答案：B4．已知α∈，且cosα＝－，则tan等于()A．7B.C．－D．－7解析：因α∈，且cosα＝－，所以sinα＜0，即sinα＝－，所以tanα＝.所以tan＝＝＝.答案：B5．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于()A.B.C.D.解析： α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.又sinα＝，∴cosα＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.∴β＝.答案：C二、填空题6．若sin＝，则cos2θ＝________．解析： sin＝cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.答案：－7．(2014·山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：原式＝sin2x＋＝sin＋，∴周期T＝＝π.答案：π8．(2014·课标全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．解析： f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝...
