热点跟踪训练21．(2019·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．解：(1)因为a＝3c，b＝，cosB＝，由余弦定理，得cosB＝，即＝，解得c2＝.所以c＝.(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cosB＝2sinB.从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sinB＞0，所以cosB＝2sinB＞0，从而cosB＝.因此sin＝cosB＝.2．(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．解：(1)f(x)＝(1－cos2x)＋sin2x＝sin＋，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)＋.由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.要使得f(x)在上的最大值为，即sin(2x－)在上的最大值为1，所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sinxcosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝，求△ABC中线AD的长．解：(1)f(x)＝－cos2x＋sin2x＝2sin.所以T＝＝π.所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)＝2sin，因为在△ABC中f(A)＝2，所以sin＝1，所以2A－＝，所以A＝.又cosB＝且B∈(0，π)，所以sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝×＋×＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，得＝，所以a＝7，所以BD＝.在△ABD中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝52＋－2×5××＝，因此△ABC的中线AD＝.4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理得sinCsinB＝.故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝.故A＝.由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.5．(2019·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a，3csinB＝4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，即bsinC＝csinB.又由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.因为b＋c＝2a，所以b＝a，c＝a.所以cosB＝＝＝－.(2)由(1)可得sinB＝＝，从而sin2B＝2sinBcosB＝－，cos2B＝cos2B－sin2B＝－，故sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－.6．(2020·广州六校联考)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)，b＝(cosx，1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．解：(1)依题设f(x)＝a·b＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)因为f(A)＝1＋2cos＝－1，所以cos＝－1，又<2A＋<，所以2A＋＝π，所以A＝.因为a＝，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.①因为向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，所以2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，②由①②得b＝3，c＝2.
