第四章三角函数、解三角形4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用理1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(√)(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(×)(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(×)(5)把y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(×)(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(√)1．(教材改编)y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为()A．2,4π，B．2，，C．2，，－D．2,4π，－答案C解析由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.2．(2015·山东)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位答案B解析 y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．3．(2016·青岛模拟)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin(2x－)B．y＝sin(2x－)C．y＝sin(x－)D．y＝sin(x－)答案C解析y＝sinxy＝sin(x－)―――――→y＝sin(x－)．4．(2016·临沂模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f()＝－，则f(－)＝________.答案－解析由题图知，函数f(x)的周期T＝2(－)＝，所以f(－)＝f(－＋)＝f()＝－.5．若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．答案解析 函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，又 g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝－－(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：ωx＋φ0π2πxπAsin(ωx＋φ)050－50且函数解析式为f(x)＝5sin.(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.引申探究在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心．解由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋)．因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z.思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin...
