课时跟踪训练(二十)三角恒等变换[基础巩固]一、选择题1．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝()A．－B．－C.D.[解析]由(sinα＋cosα)2＝得2sinαcosα＝－，∵α在第二象限，∴cosα－sinα＝－＝－，故cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝×＝－，选A.[答案]A2．已知sin2α＝，则cos2＝()A.B.C.D.[解析]cos2＝＝＝＝.[答案]C3．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为()A.B.C.D．1[解析]tan(α＋β)＝tan＝＝＝1，故选D.[答案]D4.等于()A．－B．－C.D.[解析]原式＝＝＝＝sin30°＝.[答案]C5．已知cos－sinα＝，则sin的值是()A．－B．－C.D.[解析]cos－sinα＝⇒cosα－sinα＝⇒＝⇒sin＝，∴sin＝sin＝sin＝－sin＝－.[答案]B6．cos·cos·cos＝()A．－B．－C.D.[解析]cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.[答案]A二、填空题7.＝__________.[解析]原式＝＝＝2.[答案]28.＝________.[解析]原式＝＝＝＝＝＝－4.[答案]－49．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.[解析]由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，∴tanα<0，tanβ<0，∴α，β∈.∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.[答案]－三、解答题10．(2017·北京西城区5月模拟)已知函数f(x)＝tan.(1)求f(x)的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f(β)＝2cos，求β的值．[解](1)由x＋≠kπ＋，得x≠kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}．(2)依题意，得tan＝2cos，所以＝2sin，整理得sin·＝0，所以sin＝0，或cos＝.因为β∈(0，π)，所以β＋∈.由sin＝0，得β＋＝π，即β＝；由cos＝，得β＋＝，即β＝.所以β＝，或β＝.[能力提升]11．设α∈，β∈，且tanα＝，则()A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝[解析]由已知，得＝，∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ.∴sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα.∴sin(α－β)＝cosα，∴sin(α－β)＝sin.∵α∈，β∈，∴－<α－β<，0<－α<，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.故选C.[答案]C12．(2017·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，则sin等于()A．－B.C．－D.[解析]tanα＋tan＝2tanαtan－2⇒＝－2⇒tan＝－2<0，∵α为第二象限角，∴sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin－sincos＝－.[答案]C13．(2017·湖南长沙一模)化简：＝________.[解析]＝＝＝4sinα.[答案]4sinα14．(2018·河南统考)已知tanα，tanβ是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析]由lg(6x2－5x＋2)＝0，得6x2－5x＋1＝0，由题意知tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.[答案]115．已知sin(2α＋β)＝2sinβ，求证：tan(α＋β)＝3tanα.[证明]∵sin(2α＋β)＝2sinβ，∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]．∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝2sin(α＋β)cosα－2cos(α＋β)sinα.∴3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα.∴tan(α＋β)＝3tanα.16．已知cos·cos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．[解](1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，即sin＝－，因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－.所以sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)由(1)知tanα－＝－＝＝＝＝2.[延伸拓展](2018·安徽皖江名校联考)已知在锐角△ABC中，角α＋的终边过点P(sinB－cosA，cosB－sinA)，且cos＝，则cos2α的值为()A.B．－－C.－D．－－[解析]∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>，A、B<，∴>B>－A>0，则sinB>sin＝cosA，cosB0，cosB－sinA<0，∴角α＋为第四象限角，∴sin＝－，∴cosα＝cos＝coscos＋sin·sin＝－，∴cos2α＝2cos2α－1＝－－，故选D.[答案]D
