第四节简单三角函数的恒等变换题号12345答案1.若α为第三象限角，则＋的值为()A．3B．－3C．1D．－1解析：∵α为第三象限角，∴sinα<0，cosα<0.∴＋＝＋＝－1－2＝－3.故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝(cos2xcosx＋sin2xsinx)sinx，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：∵f(x)＝(cos2xcosx＋sin2xsinx)·sinx＝cosx·sinx＝sin2x，∴函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选A.答案：A3．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的取值为()A．－B.C．±D.解析：sin(π－α)＝sinα＝log8＝－，又α∈，得cosα＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－＝.答案：B4．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝()A．－B．－C.D.解析：∵sinα＋cosα＝，两边平方得1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－＜0.∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0.∴sinα－cosα＝＝＝＝.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)＝－×＝－.故1选A.答案：A5．(2013·大同模拟)已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为()A.B.C．±D．±解析：∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角．∴cos的值有两个，由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，∴cosθ＝－，∴2cos2＝.∴cos＝±.答案：C6.＝______．解析：＝＝tan60°＝.答案：7．函数y＝sincosx的最小值是________．解析：y＝cosx＝sin2x－＝sin－≥－－＝－.答案：－8．已知α为锐角，且cos＝，则sinα＝________．解析：∵α为锐角，∴α＋∈，∵cos＝，∴sin＝＝，则sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.答案：9．设函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．解析：(1)由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}．∵f(x)＝＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x2＝sin2x－cos2x－1＝sin－1，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)∵函数f(x)＝sinx的单调递减区间为(k∈Z)．由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．10．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)若x1＝，求x2；(2)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D.记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.若S1＝S2，求角α的值．解析：(1)由三角函数定义，得x1＝cosα，x2＝cos.因为α∈，cosα＝，所以sinα＝＝＝.所以x2＝cos＝cosα－sinα＝.(2)依题意得y1＝sinα，y2＝sin.所以S1＝x1y1＝cosα·sinα＝sin2α，S2＝|x2|y2＝sin＝－sin.依题意得sin2α＝－sin＝－sin2αcos－cos2αsin，整理得tan2α＝－因为＜α＜，所以＜2α＜π，3所以2α＝，即α＝.4
