第一节排列与组合两个计数原理与排列问题考向聚焦高考对两个计数原理与排列问题的考查主要以排队、排数字、排序等为基本模型的实际问题,多带有附加条件.题型一般为选择题、填空题,有时在解答题中与概率问题相结合考查,所占分值为5分左右,难度为中、低档题,但也有个别题目难度较大备考指津(1)分类加法计数原理的特点是独立、互斥;分步乘法计数原理的特点是关联、连续.两个原理常交叉在一起使用,“”分类的关键在于不重不漏,分步的关键在于正确设计分步的步骤,恰当分类与准确分步是解答该部分题目的基础.(2)对限制条件较多的排列应用题,要周密分析,设计出合理的方案,将复杂问题分解成若干简单的基本问题后,利用两个计数原理来解决,适当地画出树状图、框图或列出表格是解决问题的有效辅助手段1.(年全国大纲卷,理11,5分)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种解析:分两步,第一步先排第1列,有种排法;第二步排第2列有两种排法.所以共有×2=12种排法.答案:A.2.(年北京卷,理6,5分)从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()(A)24(B)18(C)12(D)6解析:第一类:若0、2中选0,则0只能在十位,百位、个位从1,3,5中选有=6种方法,即符合条件的奇数有6个;第二类:若0、2中选2,则2可以在百位或十位,有种方法,其余两位从1,3,5中选有种方法.∴选2时,符合条件的奇数有=12个.综上,由加法计数原理,符合条件的奇数有12+6=18个.答案:B.3.(年北京卷,理4)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为()(A)(B)(C)(D)解析:解决不相邻问题采用插空法.由于要求2位老师不相邻,故可先排8名学生,共有种排法,然后将2名老师插到9个空中,有种排法,故排法种数为.故选A.答案:A.4.(年山东卷,理8)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()(A)36种(B)42种(C)48种(D)54种解析:若甲排在第一位,则除甲、丙外的其余4人可任意排列,有种排法;若甲排在第二位,则乙有种排法,除甲、乙、丙外的其余3人可任意排列,共有种排法,所以一共有+=42(种)不同的编排方案,故选B.答案:B.两个计数原理与组合问题考向聚焦两个计数原理与组合问题也几乎是高考每年必考的,且主要考查带有限制条件的组合问题,题型一般为选择题、填空题,有时与概率相结合出现在解答题中,试题难度中、低档,也有个别题目难度较大,所占分值5分左右备考指津有限制条件的组合应用题:(1)“”“”含与不含问题,其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,“”其余则一视同仁;若正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口.“”“”“”“”解题时要注意分清有且仅有至多至少全是“”“”都不是不都是等词语的确切含义,准确把握分类标准.(2)对于多个约束条件问题,要综合考虑是分类、分步,还是交叉使用两计数原理5.(年浙江卷,理6,5分)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有()(A)60种(B)63种(C)65种(D)66种解析:和为偶数的取法共有++=1+60+5=66,故选D.答案:D.6.(年陕西卷,理8,5分)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()(A)10种(B)15种(C)20种(D)30种解析:两人打3局:2=2两人打4局:2=2×3=6两人打5局:2=2·=12故决出胜负的所有可能共有2+6+12=20种可能.答案:C.7.(年山东卷,理11,5分)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()(A)232(B)252(C)472(D)484解析:本小题主要考查利用组合数公式解应用题.法一:(直接法)若红色卡片只有1张,则取法有种;若无红色卡片,则取法有-3种,所以满足条件的不同取法的种数为+-3=472种.法二:(间接法)任取3张卡片共有种,其中3张同色的有4种,2张红色的有种,所以满足条件的不同取法的种数为-4-=472种.答案:C.本题难度较大,但思维切入点清晰,“”既可从条件不能同...
