高中数学 2.3 计算导数基础巩固 北师大版选修2-2VIP免费

【成才之路】-学年高中数学2.3计算导数基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．函数y＝lgx在x＝1处的瞬时变化率为()A．0B．1C．ln10D.[答案]D[解析]y′＝，∴函数在x＝1处的瞬时变化率为＝.2．(·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析] f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.3．(·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2x＋1D．y＝－2x[答案]B[解析]y′＝2x，∴y′|x＝1＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.二、填空题4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为____________．[答案](1，e)e[解析] (ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，∴直线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．∴y－ex0＝ex0·x－x0·ex0. 直线过原点，∴(0,0)符合上述方程．∴x0·ex0＝ex0.∴x0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.5．下列命题中，正确命题的个数为____________．①若f(x)＝，则f′(0)＝0；②(logax)′＝xlna(a＞0，a≠1)；③加速度是动点位移s(t)对时间t的导数；④曲线y＝x2在(0,0)处没有切线．[答案]0[解析]①因为f(x)＝，当x趋于0时不存在极限，所以x＝0处不存在导数，故错误；②(logax)′＝，(a＞0，a≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s(t)对时间t的导数，故错误；④曲线y＝x2在(0,0)处的切线为直线y＝0，故错误．三、解答题6．求下列函数的导数(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log2x.[解析](1)y′＝′＝(x－2)′＝－2x－3(2)y′＝()′＝(x)′＝x－(3)y′＝(log2x)′＝一、选择题1．下列各式正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－x－6[答案]C[解析]由导数的运算法则易得，注意A选项中的a为常数，所以(sina)′＝0.故选C.2．(·无锡模拟)曲线y＝x3＋ax＋1的一条切线方程为y＝2x＋1，则实数a＝()A．1B．3C．2D．4[答案]C[解析]设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋a，∴3x＋a＝2①又 切点既在曲线上，又在切线上，∴x＋ax0＋1＝2x0＋1②由①②得3．函数y＝在x＝1处的导数是()A．－B.C．1D．－1[答案]B[解析]首先，对x＝1给定自变量x的一个改变量Δx，得到相应函数值的改变量Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，再计算相应的平均变化率＝＝当Δx趋于0时，可以得出导数y′＝lim＝.4．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标是()A.B.或C.D.[答案]B[解析]y′＝′＝－，解得－＝－4，解得x＝±，所以P点的坐标为或，故选B.5．(·嘉兴高二检测)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为()A.B．－C．D．－[答案]D[解析]由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.二、填空题6．函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．[答案]21[解析]函数y＝x2(x>0)在点(a1，a)处(a1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)，令y＝0得a2＝8；同理函数y＝x2(x>0)在点(a2，a)处(a2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4，依次同理求得a4＝2，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.7．直线y＝x＋b(b是常数)是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.[答案]ln2－1[解析]对曲线对应的函数求导得y′＝，令＝得x＝2，故切点坐标是(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝×2＋b，所以b＝ln2－1.三、解答题8．试比较曲线y＝x2与y＝在它们交点处的切线的倾斜角的大小．[解析]解方程组，得，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y＝x2，y′＝2x，所以曲线y＝x2在交点(1,1)处的切线l1的斜率k1＝2；对于函数y＝，y′＝－，所以曲线y＝在交点(1,1)处的切线l2的斜率k2＝－1.由于k1>0，k2<0，所以切线l1的倾斜角小于切线l2的倾斜角．9．在曲线y＝f(x)＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.[分析]根据导数的几何意义先求出切点的横坐标，再代入方程求出纵坐标．[解析]设...