高中数学 3.4 第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征基础达标 北师大版选修2-1VIP免费

【成才之路】-学年高中数学3.4第1课时曲线与方程、圆锥曲线的共同特征基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于()A．±3B．0C．±2D．一切实数[答案]A[解析]两直线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆[答案]A[解析]本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，以及抛物线的定义．由题意作图可知，圆C的圆心到(0,3)的距离等于到直线y＝－1的距离，所以C的圆心轨迹为抛物线．3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段[答案]A[解析]设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1. AP1∩AP2＝A，∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，∴P1P2⊥BD1，又 BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，∴P点的轨迹为B1C.二、填空题4．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM＝3，则动点P的轨迹方程为________．[答案]8x－4y＋3＝0[解析]设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得，∴.因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2×－＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0.5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，动抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是________．[答案]＋＝1[解析]设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0x＋y0y＝4(|x0|≤2)，以l为准线过A，B两点的抛物线焦点F(x，y)，A，B到l距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义，|FA|＋|FB|＝d1＋d2，即＋＝＋＝4>|AB|，∴F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，∴c＝1，∴b2＝3，∴方程为＋＝1.三、解答题6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在椭圆上运动，B为(4,0)，M点是线段BP上的靠近点P的三等分点，求点M的轨迹方程．[分析](1)设右焦点为(c,0)，由点到直线的距离公式可求出c，又b＝1，则可求得a，即可求出椭圆的标准方程．(2)设P(x0，y0)，M(x，y)．由题意可知PM＝PB，进而可得(x，y)与(x0，y0)之间的对应关系．利用相关点法，结合点P在椭圆上，代入椭圆方程即可求出M点的轨迹方程．[解析](1)设右焦点为(c,0)，因为右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.所以＝3，即c＋2＝±3，所以c＝或c＝－5(舍)．又由b＝1，得a2＝3.因此所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，由题意可知，PM＝PB，所以(x－x0，y－y0)＝(4－x0，－y0)，所以又由P在椭圆上，则有＋()2＝1，即＋＝1，故点M的轨迹方程为＋＝1.一、选择题1．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是()A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆[答案]C[解析]x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔⇔表示点(0,1)、(0，－1)．2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是()A．直线2x－y＝0B．直线2x＋y＋3＝0C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0[答案]C[解析] 4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)，∴原方程表示两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.3．设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．－＝1D．－＝1[答案]C[解析]设交点P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)， A1，P1，P共线，∴＝， A2，P2，P共线，∴＝，解得x0＝，y0＝，代入＋＝1，化简得－＝1.4．已知动点P(x，y)满足10＝|3x＋4...