【成才之路】高中数学1-3-1-1柱体、锥体、台体的表面积能力强化提升新人教A版必修2一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C.倍D．2倍[答案]D[解析]由已知得l＝2r，＝＝＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于()A．2B．4C．6D．3[答案]C[解析]设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则c＝1，ab＝2，·c＝，∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A.B.C.D.[答案]A[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.[点评]圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a2[答案]B[解析]原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为()A．81πB．100πC．14πD．169π[答案]B[解析]圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为()A.B．2πC．πD．4π[答案]A[解析]由三视图可知，该几何体是底半径为，高为1的圆柱，故其全面积S＝2π×2＋2π××1＝.7．(－·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18πD．24π[答案]B[解析]该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12B．48＋24C．36＋12D．36＋24[答案]A[解析]由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为×6×4＝12；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为×6×5＝15.所以全面积为48＋12.二、填空题9．已知圆柱OO′的母线l＝4cm，全面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝________cm.[答案]3[解析]圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3cm.10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案]24＋2[解析]该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(×2×)＋3×(4×2)＝24＋2.11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案](4＋28)π[解析]挖去的圆锥的母线长为＝2，则圆锥的侧面积等于4π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π.12．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是________．[答案]0
