第二章2.1第1课时一、选择题1．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③D．①②③④[答案]A[解析]数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．2．数列2,0,4,0,6,0…，的一个通项公式是()A．an＝[1＋(－1)n]B．an＝[1＋(－1)n＋1]C．an＝[1＋(－1)n＋1]D．an＝[1＋(－1)n][答案]B[解析]经验证可知选项B符合要求．3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项()A．18B．21C．25D．30[答案]D[解析]依次令n(n＋1)＝18、21、25和30检验．有正整数解的便是，知选D.[点评]由n(n＋1)＝a可知a应能分解为相邻两整数之积．显然A、B、C不满足，∴选D.4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列[答案]A[解析]an＝＝1－，随着n的增大而增大．5．数列1，－3,5，－7,9…，的一个通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1)D．an＝(－1)n(2n＋1)[答案]B[解析]当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.6．数列1,3,7,15…，的通项公式an＝()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n－1[答案]C[解析] a1＝1，排除A，B；又a2＝3，排除D，故选C.二、填空题7．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的第________项．[答案]10[解析]令an＝，即＝，解得n＝10或n＝－12(舍去)．8．数列－1…，，－，，的一个通项公式为________．[答案]an＝(－1)n[解析]奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为－，，－，，∴an＝(－1)n.三、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？[解析](1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，∴从第7项起各项都是正数.一、选择题1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}的第2项C．只是数列{an}的第6项D．是数列{an}的第2项或第6项[答案]D[解析]令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．2．已知数列{an}中，a1＝1，＝2，则此数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列[答案]B[解析]由＝2可知该数列的前一项是后一项的2倍，而a1＝1>0，所以数列{an}的项依次减小为其前一项的一半，故为递减数列．3．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()[答案]A[解析]据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.4．已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)，则数列的最大项是()A．第12项B．第13项C．第12项或第13项D．不存在[答案]C[解析]an＝，n≥＋2，但由于n∈N＋取不到等号，而a12＝a13，∴第12项和第13项都是最大项．二、填空题5．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．[答案]n2－n＋1[解析]序号n决定了每图的分支数，而每分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n·(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．6．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．[答案]λ>－3[解析]由{an}为递增数列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.只需λ>f(n)max＝－3即可．三、解答题7．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)，试判断{an}是递增数列还是递减数列？[解析] an＝，则an＋1＝.对任意n...
