【成才之路】-学年高中数学1.2.3第1课时直线与平面垂直基础巩固试题新人教B版必修2一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定[答案]B[解析]三角形两边所在直线必相交，该直线必垂直于三角形所在平面，故该直线与第三边也垂直．2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定[答案]D[解析]当l∥α时，直线l上所有点到α的距离都相等；当l与α相交(包括垂直)时，对于l上任一点P，在平面另一侧的直线上总存在一点P′，有P、P′到平面的距离相等，∴不确定．3．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定[答案]B[解析]设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′， a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.4．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是()A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β[答案]D[解析]以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为模型．A1A⊥平面ABCD，A1A⊥A1B1，AA1⊥AB，A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，故选D.5．下列命题①⇒a⊥b；②⇒b⊥α；③⇒a⊥b;④⇒a⊥α；⑤⇒b⊥α；⑥⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3B．4C．5D．6[答案]A[解析]因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确．又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a⊥b成立，∴③对；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面；∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a∥α，b⊥a时，b与α可以平行相交(垂直)也可以b⊂α，∴⑤错．当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或b⊂α，∴⑥错．6．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直B．平行C．a在平面α内D．不确定[答案]D[解析]直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a⊂α，或a∥α，或a⊥α，或a与α斜交．二、填空题7．如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________．[答案]PO⊥地面α[解析] PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，∴PO2＋AO2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OA，PO⊥OB.又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，∴PO⊥地面α.8.如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是⊙O上异于A、B的点，则△PAB、△PAC、△PBC、△ABC中，直角三角形的个数是________个．[答案]4[解析] PA⊥⊙O所在的平面，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB、△PAC为直角三角形．又 AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形．又 PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC为直角三角形．三、解答题9．(·山东临沂高一期末测试)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，求证：A′D⊥EF.[解析] 在正方形ABCD中，AD⊥AE，DC⊥CF，∴折起之后的几何体中，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，∴A′D⊥EF.一、选择题1．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在[答案]B[解析]当a⊥b时，有且只有一个．当a与b不垂直时，不存在．2．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π[答案]D[解析]此三棱锥的高为球的半径，ABC所在大圆面积为πr2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形．腰长为r，所以三棱锥底面面积为()2＝r2，∴球体积与三棱锥体积之比为4π，故选D.二、填空题3．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)[答案]直线[解析]过点A与AB垂直的所有直线都在同一个平面β内， AB是α的斜线，∴β与α不平行．从而β与α的所有公共点都在同一条直线上，即β...
