第三章§4第2课时一、选择题1．(·新课标Ⅱ)设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2[答案]B[解析]本题考查在约束条件下的简单目标函数的最值问题．画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z＝2x－y在两条直线x－3y＋1＝0与x＋y－7＝0的交点(5,2)处，取得最大值z＝8.故选B．2．不等式组，所表示的平面区域的面积等于()A．B．C．D．[答案]C[解析]不等式组表示的平面区域如图所示，由，得点A的坐标为(1,1)．又B、C两点坐标分别为(0,4)、，∴S△ABC＝××1＝.3．(·新课标Ⅰ文，11)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3[答案]A[解析]本题考查含字母的线性规划问题．由得交点(，)，∴z＝x＋ay的最小值为7，∴7＝x＋ay，代入点(，)得a＝－5或3.当a＝－5时，z＝x－5y的最大值为7，∴a≠－5.∴a＝3.确定交点(，)是最优点是解题的关键．4．设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为()A．－4B．0C．D．4[答案]D[解析]本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可．由作出可行域如图：当直线z＝3x－y过点A(2,2)点时z有最大值．z最大值＝3×2－2＝4.5．(·新课标Ⅰ理，9)不等式组的解集记为D．有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3[答案]B[解析]本题考查线性规划和逻辑的知识．不等式组表示的平面区域如图所示．可以验证选项P1，P2正确，所以选B．6．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是()A．B．C．D．[答案]A[解析]不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋过定点(0，)．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M(，)．当y＝kx＋过点(，)时，＝＋，∴k＝.二、填空题7．(·全国大纲理，14)设x、y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．[答案]5[解析]本题考查了线性规划知识．作出目标函数的可行域，从中可以看出当直线x＋4y＝z经过点A(1,1)时目标函数有最大值是5.注意，若y的系数是负数时，目标函数在y轴上的截距的最大值是目标函数的最小值．8．(·湖南文)若变量x、y满足约束条件则x＋y的最大值为________．[答案]6[解析]本题考查的题线性规则中最优解问题．设z＝x＋y，则y＝－x＋z，z表示直线在y轴上的截距，画出可行域(如图)，平移直线l：x＋y＝0到l0过点．A(4,2)时，zmax＝6.平移直线l时不要找错最优解．三、解答题9．设x、y满足约束条件，分别求：(1)z＝6x＋10y的最大值、最小值；(2)z＝2x－y的最大值、最小值；(3)z＝2x－y(x，y均为整数)的最大值、最小值．[解析](1)先作出可行域，如图所示中△ABC表示的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)．作出直线l0：6x＋10y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B点时，可使z＝6x＋10y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝6x＋10y达到最大值．∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.(2)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值.∴zmax＝8；zmin＝－.(3)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值，zmax＝8.当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，但由于不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，所以可行域内的点C(1，)不是最优解．当l0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z＝2x－y达到最小值．∴zmin＝－2.10．已知变量x，y满足约束条件，求的最大值和最小值．[解析]由约束条件作出可行域(如图所示)，A点坐标为(1,3)，目标函数z＝表示坐标是(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A与O连线斜率最大为3；当直线与x轴重合时，斜率最小为0.故的最大值为3，最小值为0.一、选择题1．已知平面直角坐标系xOy...
