-1-课时作业20复数的三角表示式知识点一复数的三角表示1.下列复数中已用三角形式表示的是()A．2(cosα－isinα)B．2(sinα＋icosα)C．－2(cosα＋isinα)D．2[cos(－α)＋isin(－α)]答案D解析复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：①r≥0.②加号连接．③cosα在前，sinα在后．④α前后一致，可取任意值．A不满足②，不正确；B不满足③，不正确；C不满足①，不正确．故选D．2．复数z＝－3cosπ5－isinπ5(i是虚数单位)的三角形式是()A．3cos－π5＋isin－π5B．3cosπ5＋isinπ5C．3cos4π5＋isin4π5D．3cos6π5－isin6π5答案C解析由复数的三角形式：z＝r(cosθ＋isinθ)得，z＝－3cosπ5－isinπ5＝3－cosπ5＋isinπ5＝3cos4π5＋isin4π5.故选C．知识点二复数的辐角与复数的模3.复数z＝sinθ－icosθπ2<θ<π的辐角主值是()A．θ－π2B．π－θ-2-C．2π－θD．θ＋π2答案A解析复数z＝sinθ－icosθπ2<θ<π＝sin(π－θ)＋icos(π－θ)＝cosπ2－π－θ＋isinπ2－π－θ＝cosθ－π2＋isinθ－π2，由π2<θ<π，得0<θ－π2<π2，故此复数的辐角主值为θ－π2.故选A．4．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为()A．2cosα2B．－2cosα2C．2sinα2D．－2sinα2答案B解析解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋2cos2α2－1＋i·2sinα2cosα2＝2cosα2cosα2＋isinα2， π<α<2π，∴π2<α2<π，cosα2<0，∴|z|＝2cosα2cosα2＋isinα2＝2cosα2＝－2cosα2.∴z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为－2cosα2.解法二： |z|＝1＋cosα2＋sin2α＝2＋2cosα＝2＋4cos2α2－2＝4cos2α2＝2cosα2， π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cosα2<0，∴|z|＝－2cosα2.故选B．5．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角主值．解z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2θ2＋i·2sinθ2cosθ2＝2sinθ2sinθ2＋icosθ2.-3- 2π<θ<3π，∴π<θ2<3π2，∴sinθ2<0.从而z＝－2sinθ2－sinθ2＋i－cosθ2＝－2sinθ2cos3π2－θ2＋isin3π2－θ2 π<θ2<3π2，∴0<3π2－θ2<π2.故|z|＝－2sinθ2，argz＝3π2－θ2.知识点三复数相等6.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.答案kπ－π4(k∈Z)解析解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－π4(k∈Z)．解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，z2＝cosπ2＋θ＋isinπ2＋θ， z1＝z2，则π2＋θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，故θ＝kπ－π4(k∈Z)．知识点四复数的三角表示与向量7.已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB→对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝12x上，求θ的值．解(1) 点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，∴AB→＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．-4-∴AB→对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝12x，得－2sin2θ＝－12，即sin2θ＝14，∴sinθ＝±12.又 θ∈(0，π)，∴sinθ＝12，∴θ＝π6或5π6.一、选择题1．复数z＝11＋i的辐角主值是()A．π4B．3π4C．5π4D．7π4答案D解析z＝11＋i＝12－12i＝22cos7π4＋isin7π4所以辐角主值是7π4.故选D．2．2i的三角形式是()A．2(cos0＋isin0)B．2cosπ2＋isinπ2C．2cosπ2＋isinπ2D．2(cosπ＋isinπ)答案C解析 2i的模为r＝|2i|＝2,2i的辐角主值为π2，∴2i的三角形式是2cosπ2＋isinπ2.故选C．3．若复数z＝r(cosθ＋isinθ)(r>0，θ∈R)，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r称为z的模，θ为z的辐角，若复数z的模为2，其辐角为2π3，则zi＝()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．1＋3i答案A-5-解析由已知可得z＝2cos2π3＋isin2π3＝－1＋3i，所以zi＝－1＋3ii＝－1＋3iii2＝3＋i.故选A．4．下列复数用三角形式表示的是()A．3(sin40°＋isin40°)B．3(cos40°－isi...
