高中数学导数的加法与减法法则2导数的乘法与除法法则学业分层测评VIP专享VIP免费

2.4.1导数的加法与减法法则2.4.2导数的乘法与除法法则(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列结论不正确的是()A.若y＝3，则y′＝0B.若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C.若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D.若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx【解析】D中， y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.【答案】D2.若对任意实数x，恒有f′(x)＝5x4，f(1)＝－1，则此函数为()A.f(x)＝－1＋x5B.f(x)＝x5－2C.f(x)＝x4－2D.f(x)＝x5＋1【解析】由f(1)＝－1，排除A，D；又对任意实数x，恒有f′(x)＝5x4，则f(x)＝x5＋c，故排除C，选B.【答案】B3.曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A.(1，0)B.(2，8)C.(1，0)和(－1，－4)D.(2，8)和(－1，－4)【解析】 f(x)＝x3＋x－2，∴f′(x)＝3x2＋1，设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.故P0点坐标为(1，0)或(－1，－4).【答案】C4.设曲线f(x)＝x＋1x－1在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A.2B.12C.－12D.－2【解析】 f(x)＝x＋1x－1＝1＋2x－1，∴f′(x)＝－2（x－1）2，∴f′(3)＝－12，∴－a＝2，即a＝－2.【答案】D5.已知函数f(x)＝12x2＋4lnx，若存在满足1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是()A.[5，＋∞)B.[4，5]C.4，133D.(－∞，4)【解析】f′(x)＝x＋4x，当1≤x0≤3时，f′(x0)∈[4，5]，又k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4，5].【答案】B二、填空题6.函数y＝sinx1＋sinx的导数是________.【解析】f′(x)＝cosx（1＋sinx）－sinxcosx（1＋sinx）2＝cosx（1＋sinx）2.【答案】cosx（1＋sinx）27.已知f(x)＝x2＋2f′－13x，则f′－13＝________.【解析】 f(x)＝x2＋2f′－13x，∴f′(x)＝2x＋2f′－13，∴f′－13＝2×－13＋2f′－13，∴f′－13＝－2×－13，即f′－13＝23.【答案】238.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋3t(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4s末的瞬时速度应该为________.【解析】 s′＝2t－3t2，∴v＝s′(4)＝8－316＝71316m/s.【答案】71316m/s三、解答题9.点P是曲线y＝f(x)＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.【解】根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线f(x)＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f′(x0)＝1. f′(x)＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入f(x)＝ex，得y0＝1，即P(0，1).则点P到直线y＝x的最小距离为d＝|0－1|2＝22.10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值.【解】因为y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以a，b，c的值分别为3，－11，9.[能力提升]1.(2016·宁波高二检测)函数f(x)＝x＋xlnx在(1，1)处的切线方程为()A.2x＋y－1＝0B.2x－y－1＝0C.2x＋y＋1＝0D.2x－y＋1＝0【解析】 f′(x)＝(x＋xlnx)′＝1＋x′lnx＋x(lnx)′＝1＋lnx＋1＝2＋lnx，∴f′(1)＝2＋ln1＝2，∴函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.【答案】B2.曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是()A.24B.22C.322D.2【解析】因为曲线过点(1，2)，所以b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，所以b＝－1，c＝2，所以所求的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.故两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0的距离为d＝|1＋2|2＝322.【答案】C3.(2016·菏泽高二检测)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.【解析】设P(x0，y0). y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e，∴点P的坐标是(e，e).【答案】(e，e)4.(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)＝axx2＋b，且f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)...