1.1任意角的概念与弧度制典题精讲例1在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个属于区间(-360°，360°)内的角？思路分析:本题主要考查对α=k·90°+45°,(k∈Z)所表示的角的认识.从代数角度看，取k=⋯，-2，-1，0，1，2，⋯，可以得α为⋯，-135°，-45°，45°，135°，225°，⋯；从图形角度看是以45°角为基础，依次加上90°的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90°，所得各角如图1-1-2所示.图1-1-2解:(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.分别是与45°、135°、225°、315°角终边相同的角.(2)令-360°＜k·90°+45°＜360°，得-29＜k＜27.又 k∈Z，∴k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.∴属于区间(-360°，360°)的角共有8个.绿色通道:把代数计算与对图形的认识结合起来即数形结合，这样做会使这类问题处理起来更容易些.数形结合是解决数学问题的最重要的方法之一，做题时要注意自觉地应用.变式训练1(经典回放)集合M={x|x=2k+4,k∈Z}，N={x|x=4k+2，k∈Z},则有()A.M=NB.NMC.MND.M∩N=思路解析:集合M是与4、43、45、47终边相同的角，连同这四个角组成的集合；N是与0、4、2、43、π、45、23、47终边相同的角，连同这八个角组成的集合.因此选项A、B、D均不正确，只有选项C正确.答案:C变式训练2写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-2π≤β＜4π的元素β写出来.思路分析:先在［0,2π)范围内找出终边在直线y=x上的角，即可写出S；利用不等式求出k的值，即可写出β.解:如图1-1-3所示，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴的夹角是4，在［0,2π)范围内，终边在直线y=x上的角有两个：4和45.图1-1-3所以终边在直线y=x上的角的集合为S={β|β=2kπ+4,k∈Z}∪{β|β=2kπ+45,k∈Z}={β|β=2kπ+4,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)π+4,k∈Z}={β|β=kπ+4,k∈Z}.令-2π≤kπ+4＜4π,得k=-2,-1,0,1,2,3.∴S中适合不等式-2π≤β＜4π的元素β是：-2π+4=-47，-π+4=-43,0×π+4=4,π+4=45,2π+4=49,3π+4=413.例2如图1-1-4所示，一绳索绕在半径为40厘米的滑轮上，绳索的下端B处悬挂着物体W.如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转6圈，那么需要经过几秒钟才能把物体W的位置向上提升100厘米？图1-1-4思路分析:考查弧长公式以及应用数学知识解决实际问题的能力.轮子按逆时针方向旋转，A点转过的弧的长等于B点上升到B′时的距离.这是本题中潜藏的等量关系.解:当BB′=100厘米时，的长为100厘米，所对的圆心角∠AOA′=40100=25.因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过的弧度数是6026=5，则t秒转过的弧度数为5t.故5t=25，解得t=225≈4(秒).所以经过4秒钟才能把物体W的位置向上提升100厘米.绿色通道:在实际生活中，滑轮是一种重要的省力工具，单个滑轮转动时，滑轮上的点转过的弧长与跟它连接的绳索上的点移动的距离是相等的，在分析中要注意图形的作用，数形结合是解决此类问题的有效办法.变式训练如图1-1-5所示，已知单位圆上一点A(1，0)按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过弧度数是θ(0＜θ≤π)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又转到最初位置，则θ的弧度数是___________________.图1-1-5思路解析:因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ＜23，即2＜θ＜43.由14θ=2kπ(k∈Z)，可得θ=7k(k∈Z)，所以2＜7k＜43，即27＜k＜421.所以k=4或5，则θ=74或75.答案:74或75例3已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，扇形的面积取最大值？思路分析:本题考查扇形面积公式、最值等知识，以及分析问题和解决问题的能力.建立周长与圆心角、半径、弧长、面积之间的关系，转化为求二次函数的最值.解:设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的面积为S.由题意，得l+2r=20，则l=20-2r.由0＜l＜2πr，得0＜20-2r＜2πr.∴110＜r＜10.∴S=21lr=21(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25(110＜r＜10).∴当r=5时，S取最大值25，此时l=10，α=rl=2,即当扇形的圆心角为2时，扇形的面积取最大值25.绿色通道:当扇形周长为定值时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积表示为半径的二次函数，转化为求二次函数的最值....
