高中数学新课标中椭圆的常用结论一、椭圆上距离焦点距离最近的点，最远的点是长轴的两个端点。二、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例，弦AB坐标：abcA2,，abcB2,弦AB长度：abAB22三、若P是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b.推导：如图sin212121PFPFSFPF根据余弦定理，得cos=21221222PFPFFFPFPF=2122121242)PFPFcPFPFPFPF=2122122424PFPFcPFPFa=21212224PFPFPFPFb得cos12221bPFPFsin212121PFPFSFPF=sincos12212b=cos1sin2b=2tan2b四、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121211(1)()41ABxxxxxxyy2kkk注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AByy.五、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)Mxy为椭圆22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：22ABOMbkka证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyxyykxyxx，所以22ABOMbkkayxMF1F2OABF′FPHy0xA(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Mxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；由（1）得22ABOMbkka0022221yxabkabkOMAB六、椭圆的参数方程)(sincos为参数byax七、共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.例1、已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右焦点的距离为____例2、如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是例3、已知直线1xy与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：02yx上，则此椭圆的离心率为_______例4、F是椭圆13422yx的右焦点，1,1A为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。求PFPA的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解：设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当P是FA的延长线与椭圆的交点时,PFPA取得最小值为4-5。例5、求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．例6、椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．例7、在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．
