高中数学等式与不等式1均值不等式及其应用练习含解析新人教B版必修第一册VIP免费

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-1-2.2.4均值不等式及其应用最新课程标准：掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式1．数轴上两点之间的距离公式一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|.2．中点坐标公式如果线段AB的中点M的坐标为x.若a0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中a＋b2和ab分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．状元随笔基本不等式ab≤a＋b2(a，b∈R＋)的应用：(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M24，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝M24.(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，当且仅当a＝b时等号成立．[基础自测]1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b>2abD.ba＋ab≥2-2-解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2ba·ab，即ba＋ab≥2成立．答案：D2．若a>1，则a＋1a－1的最小值是()A．2B．aC.2aa－1D．3解析：a>1，所以a－1>0，所以a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2a－1·1a－1＋1＝3.当且仅当a－1＝1a－1即a＝2时取等号．答案：D3．下列不等式中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：a<0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则ab0且y>0.其中正确命题的序号是________．【解析】(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b<0时，a2b≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则ab2≥2ab－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确．1．举反例、基本不等式?逐个判断．2．明确基本不等式成立的条件?逐个判断．【答案】(1)B【解析】(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋1x≥2x·1x＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋1ab≥2ab·1ab＝2，故②正确；由基本不等式-4-可知，当yx>0，xy>0时，有yx＋xy≥2yx·xy＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的a，b均为正数，(2)相等：即“＝”成立的条件．【答案】(2)②跟踪训练1设00，求y＝x＋1x的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．【解析】因为x>0，所以根据均值不等式有x＋1x≥2x·1x＝2，其中等号成立当且仅当x＝1x，即x2＝1，解得x＝1或x＝－1(舍)．因此x＝1时，y取得最小值2.教材反思1．利用基本不等式求最值的策略-5-2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关...

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