-1-/15微专题97不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：（1）abba（2）,abbcac（不等式的传递性）注：,abbcac，ac等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）abacbc（4）,0;,0abcacbcabcacbc（5）02,nnababnnN（6）02,nnababnnN2、绝对值不等式：ababab（1）abab等号成立条件当且仅当0ab（2）abab等号成立条件当且仅当0ab（3）abbcac：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当0abbc3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：①调和平均数：12111nnnHaaa②几何平均数：12nnnGaaa③代数平均数：12nnaaaAn④平方平均数：22212nnaaaQn（2）均值不等式：nnnnHGAQ，等号成立的条件均为：12naaa-2-/15（3）三项均值不等式：①33abcabc2223abcabc②33abcabc③22233abcabc4、柯西不等式：222222212121122nnnnaaabbbababab等号成立条件当且仅当1212nnaaabbb或120nbbb（1）二元柯西不等式：22222abcdacbd，等号成立当且仅当adbc（2）柯西不等式的几个常用变形①柯西不等式的三角公式：22222222212121122nnnnaaabbbababab②222212121212nnnnaaaaaabbbbbb222212121212nnnnaaabbbaaabbb②式体现的是当各项22212,,,naaa系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。③21212121122nnnnnaaaaaabbbababab5、排序不等式：设1212,nnaaabbb为两组实数，12,,,nccc是12,,,nbbb的任一排列，则有：121111221122nnnnnnnabababacacacababab即“反序和乱序和顺序和”（二）不等式选讲的考察内容：-3-/151、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）二、典型例题：例1：若不等式131xxm恒成立，则m的取值范围为________．思路：本题为恒成立问题，可知min113mxx，所以只需求出13xx的最小值即可，一种思路可以构造函数13fxxx，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：24,12,3124,3xxfxxxx，进而得到min2fx，另一种思路可以想到绝对值不等式：13132xxxx，进而直接得到最小值，所以12m，从而13m答案：13m例2：若存在实数x使得24210xxaa成立，求实数a的取值范围思路：本题可从方程有根出发，得到关于a的不等式，从而解出a的范围解：依题意可知二次方程24210xxaa有解164210aa即214aa当2a时，72342aa72,2a当12a时，21414aa恒成立1,2a当1a时，12142aaa1,12a-4-/15综上所述，可得17,22a例3：已知函数20fxxxaa（1）当1a时，解不等式4fx（2）若不等式4fx对一切xR恒成立，求实数a的取值范围（1）思路：所解不等式为214xx，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式解：（1）当1x时，2142xxx1,2x当01x时，2142xxx0,1x当0x时，22143xxx2,03x综上所述：不等式的解集为2,23（2）思路：若不等式4fx恒成立，可知只需min4fx即可，fx含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数32,,2,0,23,,0xaxafxaxxaaxx，通过分析函数性质即可得到minfxfaa，所以4a解：4fx恒成立min4fx考虑32,,22,0,23,,0xaxafxxxaaxxaaxxfx在,a单调递减，在,a单调递增minfxfaa4a-5-/15例4：已知,,abc都是正数,且236abc,求12131abc的最大值思路一：已知23abc为常数，从所求入手，发现被开方数的和为233abc也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值解：222121311213133abcabc121313abc233121313333abcabc等号成立当且仅当212131123623aabcbabcc思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：2212131=11121131abcabc，从而可得：22222221112113111112131abcabc即211121131323327abcabc，所以可知1213133abc小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下：222222212121111111nnnaaaaaa个22221212nnaaanaaa2221212nnaaanaaa2221212nnaaaaaann-6-...
