温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。6.3.2二项式系数的性质新版课程标准学业水平要求通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,进一步理解二项式定理.★水平一1.了解杨辉三角,并探索其中的规律.(数学抽象)2.掌握二项式系数的性质及其应用,掌握“赋值法”并会灵活运用.(逻辑推理、数学运算)★水平二通过杨辉三角,了解中华优秀传统文化中的数学成就,初步体会“数学的美”(数学抽象)必备知识·素养奠基1.对称性(1)与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=.(2)直线r=将函数f(r)=的图象分成对称的两部分,是图象的对称轴;2.增减性与最大值(1)当>1,即k<时,随k的增加而增大;当k>时,随k的增加而减小.(2)当n是偶数时,中间一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与相等,且同时取最大值.(1)二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗?提示:不一定.如果项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不一定最大.(2),,之间有什么关系?提示:=+.3.各二项式系数的和2n=+++⋯+++⋯=?++⋯=?提示:++⋯=++⋯=2n-1.4.杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即=+.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).()(2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.()(3)二项展开式项的系数是先增后减的.()(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.()提示:(1)×.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.(2)×.在二项式(a+b)n中只有当a,b的系数都为1时,展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和.(3)×.二项式系数是随n的增加先增后减的,二项式项的系数和a,b的系数有关.(4)√.根据杨辉三角的特点可知.2.的展开式中第8项是常数,则展开式中系数最大的项是()A.第8项B.第9项C.第8项和第9项D.第11项和第12项【解析】选D.二项式展开式的通项公式为Tr+1=··=·,令r=7,则n-=0,解得n=21,通项公式可化简为·.由于n=21,一共有22项,其中最大的项为r=10,11两项,即展开式的第11项和第12项.3.(2x-1)6展开式中各项系数的和为________;各项的二项式系数和为________.【解析】令展开式左、右两边x=1,得各项系数和为1;各二项式系数之和为26=64.答案:1644.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10,则a8=________.【解析】由题意可知a8是x8的系数,所以a8=·22=180.答案:180关键能力·素养形成类型一二项式系数性质的应用【典例】1.(2020·重庆高二检测)(mx+)n(n∈N+)的展开式中,各二项式系数之和为32,各项系数之和为243,则展开式中x3的系数为()A.40B.30C.20D.102.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求展开式中的所有有理项.(2)求展开式中系数绝对值最大的项.(3)求n+9+81+⋯+9n-1的值.【思维·引】1.由题意利用二项式系数的性质求出n的值,从而求出m的值,再利用二项展开式的通项公式,求出展开式中x3的系数.2.根据二项式定理的通项找出第5项与第3项的系数,由其比值求出n的值.(1)借助二项式定理的通项找出有理项;(2)写出展开式系数的通项,利用系数绝对值最大的项,其系数的绝对值不小于前后两项的系数的绝对值,即可得出关于项数的不等式组,结合项数为正整数这一前提条件即可求出系数绝对值最大的项;(3)将所求式子改为二项展开式的形式,根据二项式定理求解.【解析】1.选D.因为(mx+)n的展开式中,各二项式系数之和为2n=32,所以n=5.再令x=1,可得各项系数之和为(m+1)5=243=35,所以m=2,则展开式中的通项公式为Tk+1=·25-k,令5-=3,可得k=4,故展开式中x3的系数为·2=10.2.(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3解得n=10,因为通项:Tr+1=()10-r=(-2)r,当5-为整数时,r可取0,6展开式是常数项,于是有理项为T1=x5和T7=13440.(2)设第r+1项系数绝对值最大,则解得又因为r∈{1,2,3,⋯,9},所以r=7,当r=7时,T8=-15360,又因为当r=0时,T1=x5,当r=10时,T11=(-2)10=1024,所以系数绝对值最大...
