总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。这些理论都是以数理逻辑学为基础的。针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。类似于形式语言系统。2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。形式系统形式系统构成形式系统由{∑,TERM,FORMULA,AXIOM,RULE}等5个部分构成，其中称为符号表，TERM为项集；FORUMULA为公式集；AIXIOM为公理集；RULE为推理规则集。：1、符号表∑为非空集合，其元素称为符号。2、设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。项集TERM为∑*的子集，其元素称为项；项集TERM有子集VARIABLE称为变量集合，其元素称为变量。3、设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。公式结FORMULA为∑*的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM，其元素称为原子公式。4、公理集AXIOM是公式集FROMULA的子集，其元素称为公理。5、推理规则集RULE是公式集FORMULA上的n元关系集合，即RULE=)}2(|{nFORMULArnnnr是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM∩FORMULA=φ，公式和项统称为表达式。由定义可知，符号表∑、项集TERM、公式集FORMULA是形式系统的语言部分。而公理集AXIOM、推理规则集RULE为推理部分。形式系统的重要问题1、符号表为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。2、项集TERM、公式集FORMULA、公理集AXIOM和推理规则集RULE是递归集合，即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合。3、形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。而公式是用来描述这些研究对象的性质的。这个语言被称为对象语言。定义公式和项产生方法的规则称为词法。4、用来描述形式系统中各个部分性质的语言称为元语言。用于研究形式系统的元语言又被称为元数学。形式推导1、基本概念演绎结果与定理：设A为FSPC上一公式，集合为FSPC上一公式集合。称A为的演绎结果，记为├A，如果存在一个公式序列：)(,,,,321AAAAAL使得iA或者为形式系统FSPC的公理，或者为公式集合Γ中的元素，或者或者为),,,,(,,,,13211321ijjjjAAAAnjjjjn由推理规则r得到；则称A为FSPC的演绎结果。当时，称A为定理FSPC上的定理。称)(,,,,321AAAAAL为A的证明序列。逻辑等价：公式A和B分别为两个公式，如果A,B满足B├A，且A├B同时成立，则称公式A和B为逻辑等价公式，记为A├│B。即A,B互为演绎结果。例如：A├|A，BA├|AB，BA├|AB。对偶：设A为FSPC上由联结词,,和原子公式构成的公式。在A...
