§6距离的计算课时目标掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离．1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝______________，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝|AB|＝________________.2．点到直线距离的求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量PA在s上的投影的大小|PA·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离．d＝.3．点到平面的距离的求法设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量PA在n上的投影的大小|PA·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|PA·n0|.一、选择题1．若O为坐标原点，OA＝(1,1，－2)，OB＝(3,2,8)，OC＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.B．2C.D.2．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为()A．2B.C.D．33．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A.B.C.D.4.如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为()A.B.C.D．25.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.6．若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B．1C.D.题号123456答案二、填空题7．已知夹在两平行平面α、β间的斜线段AB＝8cm，CD＝12cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α和β的距离为________．8．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为______．9．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．三、解答题10．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为1，利用向量法求点C1到A1C的距离．能力提升12．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．求直线AD与平面PBC的距离．1．点到直线的距离可以通过作垂线转化为两点间的距离，也可以利用向量形式的点到直线的距离公式计算．2．求点到平面的距离的三种方法：(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得．(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离．(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．§6距离的计算知识梳理1.作业设计1．D[由题意OP＝(OA＋OB)＝(2，，3)，PC＝OC－OP＝(－2，－，－3)，PC＝|PC|＝＝.]2．A[作AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥x轴交x轴于点F，则AB＝AE＋EF＋FB，AB2＝AE2＋EF2＋FB2＋2AE·EF＋2AE·FB＋2EF·FB＝AE2＋EF2＋FB2＋2AE·FB＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44，∴|AB|＝2.]3．B[建立如图所示坐标系，则BA＝(2,0,0)，BE＝(1,0,2)，∴cosθ＝＝＝，∴sinθ＝＝，A到直线BE的距离d＝|AB|sinθ＝2×＝.]4．B[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1,0,0)，D(0，－1，2)，C(0,1,2).AD＝(0,0,2)，AE＝(1,1,0)，AC＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.]5．B[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐...
