高中数学 3.4基本不等式：ab≤a＋b2（一）课时作业 新人教A版必修5VIP免费

3.4≤基本不等式：(一)课时目标1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b“”时取＝号)．2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)当x>0时，x≥＋2；当x<0时，x≤＋－2.(3)当ab>0≥时，＋2；当ab<0≤时，＋－2.(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．一、选择题1．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是()A.B.C.D.答案D解析方法一特殊值法．令a＝4，b＝2，则＝3，＝，＝，＝.∴最小．方法二≤≤≤＝，由，可知最小．2．已知m＝a＋(a>2)，n＝x2－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是()A．m>nB．mn.3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤B．ab<1>0，∴>1，∴ab<1<.4．已知正数02，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0>0，∴>，∴a2＋b2>.∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－D．－3答案B解析x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立⇔ax≥－x2－1⇔a≥max.∵x≥＋2，∴≤－－2，∴a≥－2.二、填空题7．若a<1，则a＋有最______值，为________．答案大－1解析∵a<1，∴a－1<0，∴－＝(1－a)≥＋2(a＝0时取等号)，∴a－1≤＋－2，∴a≤＋－1.8．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．答案2解析∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，∴≥＋＝＋2(x＝2时取等号)．9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．答案3解析∵x>0，y>0且1≥＝＋2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．10．若对任意x>0≤，a恒成立，则a的取值范围为________．答案解析∵x>0，∴>0，易知a>0.∴≥，∴≤x＋＋3.∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，∴≤5.∴a≥.三、解答题11．设a、b、c≥都是正数，求证：＋＋a＋b＋c.证明∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．∴≥＋2c≥，＋2a≥，＋2b，三式相加得2≥2(a＋b＋c)，≥即＋＋a＋b＋c.12．a>b>c，n∈N≥且＋，求n的最大值．解∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.∵≥＋，∴n≤＋.∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，∴n≤＋，∴n≤＋＋2.∵≥＋2＝2(2b＝a＋c时取等号)．∴n≤4.∴n的最大值是4.能力提升13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．8B．6C．4D．2答案C解析只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0≥求得2≤或－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.证明∵≥＋2＝2，≥＋2＝2，≥＋2＝2，∴2≥2(＋＋)，≥即＋＋＋＋.∵a，b，c为不等正实数，∴＋＋<＋＋.1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．2．两个不等式a2＋b2≥2ab≥“…‘’与都是带有等号的不等式，对于当且仅当时，取＝”号这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.