【步步高学案导学设计】-学年高中数学第二章变化率与导数章末总结北师大版选修2-2知识点一导数的概念平均变化率表示函数在某个区间内变化的快慢，瞬时变化率(导数)表示函数在某一点处变化的快慢．f′(x0)＝lim.例1求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．例2航天飞机发射后的一段时间内，第t时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)分别表示什么；(2)求第1s内高度的平均变化率；(3)求第1s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，利用导数可以求曲线的切线斜率和切线方程．例3已知曲线方程为y＝x2，(1)求过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程；(2)求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．例4已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．(1)求实数a，b的值；(2)求过已知函数图像上某点处切线的斜率的取值范围．知识点三导数的计算导数的计算主要考查导数公式的应用和导数的四则运算，复合函数的求导．在求导数时，一定要认清函数的形式，然后选择适当的公式和法则进行计算．例5(1)求函数f(x)＝在x＝16处的导数；(2)求函数y＝的导数；(3)求函数y＝esin(2x＋3)的导数．知识点四导数的实际意义实际生活中存在大量的变化率问题，我们可以根据导数计算并表示变化的快慢，在实际问题中理解导数的意义．例6在受到制动后的t秒内飞轮转过的角度(弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2给出．求：(1)t＝2秒时，飞轮转过的角度；(2)飞轮停止旋转的时刻．例7将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如第xh时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤18)．求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．答案重点解读例1解f′(x)＝lim＝lim＝lim(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.例2解(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1s后的高度．(2)＝＝80(m/s)，即第1s内高度的平均变化率为80m/s.(3)h′(1)＝lim＝lim＝lim[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120，即第1s末高度的瞬时变化率为120m/s.它说明在第1s末附近，航天飞机的高度大约以120m/s的速度增加．例3解(1)∵A(2,4)在y＝x2上．由y＝x2得，y′＝lim＝2x.∴f′(2)＝4.∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x)．由(1)得y′＝2x，∴f′(x0)＝2x0.∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．∵点(3,5)在切线上，∴5－x＝2x0(3－x0)．即x－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5，∴切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.例4解(1)因为y′＝f′(x)＝lim＝3ax2＋2bx.∵f(x)＝ax3＋bx2的图像过点M(1,4)，∴a＋b＝4.又∵曲线在点M处的切线与直线x＋9y＝0垂直，∴f′(1)＝9，∴3a＋2b＝9.由得，.(2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x＝3(x＋1)2－3≥－3.∴过已知函数图像上某点处的切线的斜率的取值范围是k≥－3.例5解(1)∵f′(x)＝()′＝(x)′＝x－＝，∴f′(16)＝＝＝.(2)∵y＝x3＋x－＋，∴y′＝(x3)′＋(x－)′＋＝3x2－x－＋＝3x2－x－＋x－2cosx－2x－3sinx.(3)设y＝eu，u＝sint，t＝2x＋3，则y′＝y′u·u′t·t′x＝eucost×2＝2esin(2x＋3)·cos(2x＋3)．例6解(1)t＝2秒时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(弧度)．(2)由题意得，φ′(t)＝4－0.6t，飞轮停止旋转，即瞬时角速度为0，所以令4－0.6t＝0⇒t＝.所以在t＝秒时飞轮停止转动．例7解∵f′(x)＝2x－7，∴f′(6)＝5.导数f′(6)＝5表示当x＝6h时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6h时温度的变化速度，每经过1h，原油温度将升高5℃.
