导数在不等式证明中的应用(1)VIP免费

周口师范学院2008届本科毕业生论文引言不等式与等式一样，在数学问题中都是有着十分重要而且广泛应用的课题，而不等式的研究范围更广，难度更大.有些不等式用初等数学方法是很难证明的，我们将以函数的观点认识不等式，应用导数为工具，使不等式的证明化难为易，迎刃而解.在数学分析课程中，不等式是证明定理与公式的工具，不等式的证明又蕴涵着许多数学分析的技巧.文献[1]微分中值定理及其应用这一章节中主要阐述了拉格朗日微分中值定理、函数的单调性等概念.文献[2]中研究了用导数来证明不等式,其中侧重的方法是拉格朗日中值定理、函数的单调性来证明不等式.文献[3]中讨论了利用函数的最值来证明不等式.文献[4]中用利用函数的凸凹性这一方法来证明不等式.利用导数证明不等式,其传统的方法是利用微分中值定理、函数的单调性及函数的最值等来证明不等式.查阅相关文献十五篇,其中详读十篇.在文献[5]中找到创新之处,得出利用特殊例题的推广这一方法来证明不等式.并且对常用的证明方法进行归纳总结,更进一步地,对归纳的证明方法及创新之处加以应用.1利用函数的单调性证明不等式该方法使用于某区间I上成立的不等式，一般地，证明区间I上成立的不等式时，可以选择作为辅助函数。对求导，判断是大于0或是小于0,判定的单调性，从而证明不等式.定理设函数在区间I上可导,则在区间I上递增(递减)的充要条件是()例1设x>0,证明不等式成立.证明令,显然.当时,有第1页(共13页)周口师范学院本科毕业论文从而在(0,+∞)内严格递增,又在处连续,所以,当时,.即.(1)设,则时,所以在(0,+∞)内递减,又在处连续,故时,有即(2)由(1)﹑(2)可知,当时,有.注构造适当的辅助函数，使得证明简洁些是很有必要的。为此，往往对待证的不等式作适当的恒等变形。2利用拉格朗日中值定理证明不等式要使用拉格朗日中值定理，关键是找出函数及其区间，看它是否满足格朗日中值定理的条件，还可结合不等式的特点来找。定理2（拉格朗日中值定理）若函数满足以下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在（a,b）内至少存在一点，使第2页(共13页)周口师范学院本科毕业论文例2设为非线性函数，在[a,b]在连续，在（a,b）内可导，证明：η使。证明引入辅助函数由于非线性，，故，使得，而。设，（类似可证），在与上分别使用拉格朗日中值定理，得而，即.所以，令故注一般地，若函数满足拉格朗日中值条件，则有不等式它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函数的不等式的主要思想。3利用函数的极值证明不等式此法使用范围也是在某区间上成立的不等式，这里所做的辅助函数比较的不是函数的端点，而是极值和最值。第3页(共13页)周口师范学院本科毕业论文定理3设函数在点连续，在某邻域内可导，(1)若当时，当时，则在点取得极小值。若当时，当时，则在点取得极大值。定理4设函数在的某邻域内二阶可导，且与。若，则在取得极大值。若，则在取得极小值。例3证明：分析由待证不等式建立辅助函数，当在定义域内可导时，只须解方程得出稳定点，再对每个稳定点应用定理3或定理4判定是否为极值点，求出极大（小）值，再借助函数的单调性证明不等式成立。证明引入辅助函数，则有求得稳定点，又故是在的唯一极值点，且有极小值，而为在[0，1]上最大值，于是有.例4设为任一常数，试证：当时，证明当时，取.第4页(共13页)周口师范学院本科毕业论文因，所以只要证明当时，或令，解得稳定点当时，时，所以，是的最小值点。即有故当时，成立。注利用最值证明不等式，如果函数在上不是单调函数，要证在上有成立，不妨证明在上的最小值；要证在上有成立，不妨证明在上的最大值。4利用函数的凸凹性证明不等式函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式，许多不等式问题用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）证明起来十分困难，但利用函数的凸凹性质，可以方便、快捷地得到结论。定理5为区间上的凸函数的充要条件是：对于区间上的任意三点总有例5利用是凸函数，证明：其中证明因为是凸函数，所以詹森不等式第5页(共13页)周口师范学院本科毕业论文成立。即亦即从而注如果是区间上凸（凹）函数，那么由定义，对于区间上的任意两点,总有所以只需证明...