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高中数学 第二章 解析几何初步章末总结 北师大版必修2VIP免费

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【步步高学案导学设计】-学年高中数学第二章解析几何初步章末总结北师大版必修2一、数形结合思想数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助“数”,以“数”解“形”.本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效果.例1设点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上.求的最小值.例2讨论直线y=x+b与曲线y=的交点的个数.二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一,是历年高考的重点,其实质就是整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,从而增加了题设的条件.(在用二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时要分类讨论);直线方程除了一般式之外,都有一定的局限性,故在应用直线的截距式方程时,要注意到截距等于零的情形;在用到与斜率有关的直线方程时,要注意到斜率不存在的情形.例3过点P(-1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线方程.例4求过点A(3,1)和圆(x-2)2+y2=1相切的直线方程.三、对称问题在解析几何中,经常遇到对称问题,对称问题主要有两大类,一类是中心对称,一类是轴对称.1.中心对称(1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点P2(2a-x1,2b-y1),也即P为线段P1P2的中点,特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P′(-x,-y).(2)两直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1、l2的距离相等.2.轴对称(1)两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上,这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.(2)两直线关于直线对称:设l1,l2关于直线l对称.①当三条直线l1、l2、l共点时,l上任意点到l1、l2的距离相等,并且l1、l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;②当l1∥l2∥l时,l1到l的距离等于l2到l的距离.例5已知直线l:y=3x+3,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标;(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.例6自点P(-6,7)发出的光线l射到x轴上点A处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-8x-6y+21=0相切于点Q.求光线l所在的直线方程.第二章章末总结答案例1解式子的几何意义是点P(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率.如图,当为切线l1时,斜率最小.设=k,即kx-y+k-2=0,由直线与圆相切,得=1,解得k=.故的最小值是.例2解如图所示,在坐标系内作出曲线y=的图像(半圆).直线l1:y=x-2,直线l2:y=x+2.当直线l:y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时,l与曲线y=有公共点;进一步观察交点的个数可有如下结论:①当b<-2或b>2时,直线y=x+b与曲线y=无公共点;②当-2≤b<2或b=2时,直线y=x+b与曲线y=仅有一个公共点.③当2≤b<2时,直线y=x+b与曲线y=有两个公共点.例3解(1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x=-1,x=0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1,符合题意;(2)当直线的斜率存在时,设其斜率为k,则两条直线的方程分别为y=k(x+1),y-2=kx.令y=0,得x=-1与x=-.由题意得|-1+|=1,即k=1.∴直线的方程为y=x+1,y=x+2,即为x-y+1=0,x-y+2=0.综上可知,所求的直线方程为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.例4解当所求直线斜率存在时,设其为k,则直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0. 直线与圆相切,∴d==1,解得k=0.当所求直线斜率不存在时,x=3也符合条件.综上所述,所求直线的方程是y=1和x=3.例5解(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′,y′),则点P,P′的中点M在直线l上,且直线PP′垂直于直线l,即,解得,∴P′坐标为(-2,7).(2)设直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线为l2,则l1上...

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