2.2.2向量的减法课时目标1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义,正确作出两个向量的差.向量的减法(1)定义:若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.(2)作法:在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则向量a-b=________.如图所示.(3)几何意义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为__________,被减向量的终点为__________的向量.例如:OA-OB=__________.一、填空题1.若OA=a,OB=b,则AB=________.2.若a与b反向,且|a|=|b|=1,则|a-b|=________.3.化简(AB-CD)-(AC-BD)的结果是________.4.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则BA-BC-OA+OD+DA=________.5.如图所示,已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a,b,c,则OD=____________(用a,b,c表示).6.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,|AB|=2,则|BC+DC|=________.7.已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形,则a-b+c-d=________.8.若|AB|=5,|AC|=8,则|BC|的取值范围是________.9.边长为1的正三角形ABC中,|AB-BC|的值为________.10.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|=________.二、解答题11.如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,设AB=a,DA=b,OC=c,求证:b+c-a=OA.12.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,试作出下列向量并分别求出其长度(1)a+b+c;(2)a-b+c.能力提升13.在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,先用a,b表示向量AC和DB,并回答:当a,b分别满足什么条件时,四边形ABCD为矩形、菱形、正方形?14.如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:OH=OA+OB+OC.1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-AB=BA就可以把减法转化为加法.即:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+(-b).2“.在用三角形法则作向量减法时,要注意差向量连接两向量的终点,箭头指向被减”数.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆.3.以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量为AC=a+b,BD=b-a,DB=a-b,这一结论在以后应用非常广泛,应该加强理解并记住.2.2.2向量的减法知识梳理BA始点终点BA作业设计1.b-a2.23.04.CA5.a-b+c解析OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a+c-b=a-b+c.6.2解析如右图,设菱形对角线交点为O,∵BC+DC=AD+DC=AC,又∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,∴OB=1,在Rt△AOB中,|AO|==,∴|AC|=2.7.0解析a-b+c-d=OA-OB+OC-OD=BA+DC=0.8.[3,13]解析∵|BC|=|AC-AB|且||AC|-|AB||≤|AC-AB|≤|AC|+|AB|.∴3≤|AC-AB|≤13.∴3≤|BC|≤13.9.解析如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连结AD,则AB-BC=AB+CB=AB+BD=AD.在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,易求AD=,∴|AB-BC|=.10.4解析如图所示.设OA=a,OB=b,则|BA|=|a-b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB,则|OC|=|a+b|.由于(+1)2+(-1)2=42.故|OA|2+|OB|2=|BA|2,所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形,从而OA⊥OB,所以▱OACB是矩形,根据矩形的对角线相等有|OC|=|BA|=4,即|a+b|=4.11.证明方法一∵b+c=DA+OC=OC+CB=OB,OA+a=OA+AB=OB,∴b+c=OA+a,即b+c-a=OA.方法二∵c-a=OC-AB=OC-DC=OD,OD=OA+AD=OA-b,∴c-a=OA-b,即b+c-a=OA.12.解(1)由已知得a+b=AB+BC=AC,又AC=c,∴延长AC到E,使|CE|=|AC|.则a+b+c=AE,且|AE|=2.∴|a+b+c|=2.(2)作BF=AC,连结CF,则DB+BF=DF,而DB=AB-AD=a-BC=a-b,∴a-b+c=DB+BF=DF且|DF|=2.∴|a-b+c|=2.13.解由向量加法的平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.则有:当a,b满足|a+b|=|a-b|时,平行四边形两条对角线相等,四边形ABCD为矩形;当a,b满足|a|=|b|时,平行四边形的两条邻边相等,四边形ABCD为菱形;当a,b满足|a+b|=|a-b|且|a|=|b|时,四边形ABCD为正方形.14.证明作直径BD,连结DA、DC,则OB=-OD,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.∴CH∥DA,AH∥DC,故四边形AHCD是平行四边形.∴AH=DC,又DC=OC-OD=OC+OB,∴OH=OA+AH=OA+DC=OA+OB+OC.故OH=OA+OB+OC.