2．2.2向量的减法课时目标1．理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为__________，被减向量的终点为__________的向量．例如：OA－OB＝__________.一、填空题1．若OA＝a，OB＝b，则AB＝________.2．若a与b反向，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________.3．化简(AB－CD)－(AC－BD)的结果是________．4.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.5．如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则OD＝____________(用a，b，c表示)．6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝2，则|BC＋DC|＝________.7．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则a－b＋c－d＝________.8．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是________．9．边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为________．10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.二、解答题11.如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设AB＝a，DA＝b，OC＝c，求证：b＋c－a＝OA.12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量并分别求出其长度(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.能力提升13．在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，先用a，b表示向量AC和DB，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？14.如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH＝OA＋OB＋OC.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2“．在用三角形法则作向量减法时，要注意差向量连接两向量的终点，箭头指向被减”数．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB＝a、AD＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2向量的减法知识梳理BA始点终点BA作业设计1．b－a2．23．04.CA5．a－b＋c解析OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a＋c－b＝a－b＋c.6．2解析如右图，设菱形对角线交点为O，∵BC＋DC＝AD＋DC＝AC，又∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴OB＝1，在Rt△AOB中，|AO|＝＝，∴|AC|＝2.7．0解析a－b＋c－d＝OA－OB＋OC－OD＝BA＋DC＝0.8．[3,13]解析∵|BC|＝|AC－AB|且||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|.∴3≤|AC－AB|≤13.∴3≤|BC|≤13.9.解析如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则AB－BC＝AB＋CB＝AB＋BD＝AD.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，∴|AB－BC|＝.10．4解析如图所示．设OA＝a，OB＝b，则|BA|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故|OA|2＋|OB|2＝|BA|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC|＝|BA|＝4，即|a＋b|＝4.11．证明方法一∵b＋c＝DA＋OC＝OC＋CB＝OB，OA＋a＝OA＋AB＝OB，∴b＋c＝OA＋a，即b＋c－a＝OA.方法二∵c－a＝OC－AB＝OC－DC＝OD，OD＝OA＋AD＝OA－b，∴c－a＝OA－b，即b＋c－a＝OA.12．解(1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，∴延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2.∴|a＋b＋c|＝2.(2)作BF＝AC，连结CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b，∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2.∴|a－b＋c|＝2.13．解由向量加法的平行四边形法则，得AC＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b.则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．14．证明作直径BD，连结DA、DC，则OB＝－OD，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.∴CH∥DA，AH∥DC，故四边形AHCD是平行四边形．∴AH＝DC，又DC＝OC－OD＝OC＋OB，∴OH＝OA＋AH＝OA＋DC＝OA＋OB＋OC.故OH＝OA＋OB＋OC.
