3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均错2.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°4．已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．以上都不对5．A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A.B.C.D.6．在△ABC中，已知AB＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝________.二、能力提升7．设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________．8．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．9．已知两点A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，证明OA1⊥AM.11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝，SB＝，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．答案1．A2.B3．B4．C5．A6．135°7．60°8.9.10．证明如图所示，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1个单位，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，M，O.∴OA1＝，AM＝.∵OA1·AM＝×(－1)＋×0＋1×＝0，∴OA1⊥AM.∴OA1⊥AM.11．解如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系．(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴|BN|＝＝，∴BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，∴BA1·CB1＝3.又∵|BA1|＝，|CB1|＝，∴cos〈BA1，CB1〉＝＝.∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.12．解如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1(0,2,3)，M，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则MN＝，DC1＝(0,2,3)，MN·DC1＝·(0,2,3)＝－4＋3h，∴当h＝时，MN·DC1＝0，此时MN⊥DC1.∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.13．解如图所示，分别以AC、AS为x轴，z轴，在面ABC内过A作垂直于AC的直线为y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则C(2,0,0)，B(2，，0)，AB＝＝＝.因为SA⊥面ABC，所以SA⊥AB，又SB＝，所以SA＝＝2，所以S(0,0,2)，则CS＝(0,0,2)－(2,0,0)＝(－2,0,2)，AB＝(2，，0)，CS·AB＝(－2,0,2)·(2，，0)＝－4，|CS|＝4，|AB|＝.所以cos〈CS，AB〉＝＝－.∵异面直线所成角的范围为，∴异面直线CS与AB所成角的余弦值为.
