§1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词一、基础过关1.下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A.1B.2C.3D.42.下列命题中，真命题是()A.∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B.∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C.∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D.∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数3.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数.下列说法正确的是()A.四个命题都是真命题B.①②是全称命题C.②③是特称命题D.四个命题中有两个假命题4.下列全称命题中真命题的个数为()①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1B.2C.3D.45.已知命题p：∀x∈R，x2－x＋<0；命题q：∃x∈R，sinx＋cosx＝.则下列判断正确的是()A.p是真命题B.q是假命题C.綈p是假命题D.綈q是假命题6.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A.存在一个α，使tan(90°－α)＝tanαB.存在实数x0，使sinx0＝C.对一切α，sin(180°－α)＝sinαD.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ7.给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________.二、能力提升8.下列4个命题：p1：∃x∈(0，＋∞)，xlogx；p3：∀x∈(0，＋∞)，x>logx；p4：∀x∈，x0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.10.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假.(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得＝2.11.已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围.12.已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.三、探究与拓展13.若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围.答案1.C2.A3.C4.C5.D6.A7.①②④8.p2，p49.010.解(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题.(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题.(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题.(4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，＝2”，是假命题.11.a≤－2或a＝112.解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x).若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞).13.解∵cos2x＋2sinx＋a＝0，∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2(sin2x－sinx)－1,∴a＝22－.又－1≤sinx≤1，∴－≤22－≤3.故当－≤a≤3时，方程a＝22－有实数解，所以，所求实数a的取值范围是.
