《学案与测评》2011年高考数学总复习 第五单元第八节 正、余弦定理的应用精品课件 苏教版VIP专享VIP免费

第五单元基本初等函数Ⅱ知识体系第八节正、余弦定理的应用基础梳理1.解三角形一般地，把三角形三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.解三角形的类型（1）已知三边求三角，用余弦定理；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，用余弦定理；（3）已知两角和任一边，求其他两边和一角，用正弦定理；（4）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用正弦定理.题型一三角形与立体几何的综合问题【例1】如图，某人在高出海面300m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°,俯角为45°，求这两个航标间的距离.分析将问题转化为立体几何问题，然后利用三角形知识求解.解由题意得∠PBC=45°,PAC=30°,ACB=30°,PC=300∠∠，在RtPCB△中，BC=PC=300.在RtPCA△中，在△ABC中,由余弦定理,得典例分析.3300PC3ACAB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosACB∠∴AB=300(m).学后反思本题涉及到测量的俯角、方向角等概念，在解题时应结合实际情况正确理解，并要作出合理转化.,3002330033002-300)3(300222举一反三1.某人在山顶观察地面上相距300m的A与B两个目标，测得目标B在南偏东5°，俯角45°，同时测得A在南偏东35°，俯角30°,求山高（设A、B与山底在同一平面上）.解析:画图，设山高MC=x,由题意可得∠MBC=45°,MAC=30°,ACB=30°.∠∠在RtMCB△中，BC=MC=x,在RtMCA△中，在△ABC中，由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosACB,即∴x=300.即山高为300m.x.3MC3AC,2332-3300222xxxx题型二构造三角形模型解应用题【例2】(14分)一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动.如图所示，已知dm,AD=17dm,BAC=45°.∠若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？24AB分析“最快截住”是指“机器人从点B沿直线运动时和足球在直线AD上的点C处相遇”，此时CD=2BC，将问题归结到△ABC中，用余弦定理解决.解设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC=xdm,由题意知，CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.2′在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,………………………………………….4′即x2=()2+(17-2x)2-2××(17-2x)·cos45°,……………………..7′解得x1=5dm,x2=dm,…………………………………………….10′∴AC=17-2x=7dm或dm(不合题意，舍去)…………………….12′所以该机器人最快可在线段AD上离点A7dm的点C处截住足球.,…14′2424337323学后反思本题中机器人在从点B开始运动时必须选择一个方向，在这个方向上沿直线运动恰好与足球在直线AD上的点C相遇，这样才能达到“最快截住”的目的，否则就不是“最快截住”，这样就可以把问题归结到一个三角形中，用正、余弦定理来解决问题.举一反三2.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km/h,飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420s后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度(取2≈1.4,3≈1.7).解析：如图， ∠A=15°,∠DBC=45°,∴∠ACB=30°,∴AB=180km/h×420s=21000m. 在△ABC中，,∴BC=·sin15°=10500(). CD⊥AD,∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°=10500()×=10500(-1)≈10500(1.7-1)=7350.∴山顶的海拔高度为10000-7350=2650(m).sinBCABsinAACB21000126262223题型三三角形与函数的综合问题【例3】在△ABC中，若AB=AC，则cosA+cosB+cosC的取值范围为______.分析易用余弦定理把原式化成“边”的形式，又AB=AC，即b=c,B=C,则可把cosA+cosB+cosC转化为以为自变量的二次函数.ba解由于AB=AC,所以b=c,B=C,由余弦定理,得学后反思解决三角形中的有关问题时，主要通过正弦定理和余弦定理进行边角互化，但也要注意一些隐含条件的利用，例如，在三角形中：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、大边对大角、最大内角的取值范围是,最小内角的取值范围是等.]23(1,23231)-ba(21-12,ba0a,2ba,cb231)-ba(21-1ba)ba(21-2acb-ca22bca-cbCcosBcosAcos222222...