【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章数列学业分层测评2数列的函数特性北师大版必修5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·佛山高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【解析】数列{an}的通项公式是an＝＝＝1＋，an＋1－an＝－＝，∵n∈N＋，∴an＋1＜an，即数列{an}为递减数列．【答案】B2．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}中第几项最大()A．第6项B．第7项C．第6项或第7项D．第5项【解析】an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，由n∈N＋，所以n＝5时，an有最大值．【答案】D3．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2014＝()A．3B．－3C．6D．－6【解析】由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{an}是周期为6的数列，所以a2014＝a4＝－3.【答案】B4．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图像是()【解析】由an＋1＝f(an)，an＋1＞an得f(an)＞an，即f(x)＞x，结合图像知A正确．【答案】A5．(2016·九江高二检测)设函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()【导学号：67940005】A．(1,3)B．(2,3)1C.D．(1,2)【解析】∵函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，∴，解得，即＜a＜3.【答案】C二、填空题6．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项是________．【解析】数列an＝n2－7n＋50＝2＋，因为n∈N＋，所以n＝3,4时，a3＝a4＝38.【答案】387．若数列中的最大项是第k项，则k＝________.【解析】由ak＋1≤ak，且ak≥ak－1，得k(k＋4)k≥(k＋1)(k＋5)k＋1且k(k＋4)·k≥(k－1)(k＋3)k－1，化简得k2≥10且k2－2k－9≤0，解得≤k≤＋1，由于k是正整数，所以k＝4，即数列最大项是第4项．【答案】48．(2016·吉安高二检测)数列{an}满足an＝n2＋kn＋2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是________．【解析】an＝n2＋kn＋2＝2＋2－，∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤－≤4.5，解得－9≤k≤－7.【答案】[－9，－7]三、解答题9．(2016·宝鸡高二检测)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.(1)－60是否是该数列中的项，若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？有多少项？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．【解】(1)由n2－21n＋20＝－60得n＝5或n＝16；所以数列的第5项，第16项都为60.由n2－21n＋20＜0，得1＜k＜20，所以共有18项．(2)因为an＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.10．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明数列{an}是递减数列．【解】(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－log2an＝－2n，∴an－＝－2n，∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.∵an＞0，∴an＝－n，n∈N＋.(2)证明：＝＝＜1.2∵an＞0，∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列．[能力提升]1．已知数列an的通项公式为an＝n＋，若对任意n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为()A．[6,12]B．(6,12)C．[5,12]D．(5,12)【解析】由题意知n＋≥3＋对任意n∈N＋恒成立．所以k≥3－n，即k≥3－n，当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，当n＝1时，k≥3，当n＝2时，k≥6，以上三式都成立，故取交集得6≤k≤12.【答案】A2．若数列{an}的通项公式为an＝7·2n－2－3·n－1，则数列{an}的()A．最大项为a5，最小项为a6B．最大项为a6，最小项为a7C．最大项为a1，最小项为a6D．最大项为a7，最小项为a6【解析】令t＝n－1，n∈N＋，则t∈(0,1]，且2n－2＝2＝t2.从而an＝7t2－3t＝72－.函数f(t)＝7t2－3t在上是减函数，在上是增函数，所以a1是最大项，故选C.【答案】C3．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．【解析】由{an}为递增数列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－2n－1在n≥1时恒成立，令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.只需λ＞f(n)max＝－3即可．【答案】(－3，＋∞)4．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，试求数列{an}的最大项．【解】假设第n项an为最大项，则即解得即4≤n≤5，所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.3
