第21讲任意角的三角函数1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为(A)A.B．－C．－D.由题意知P的坐标为(－8m，－3)，因为cosα＝－<0，所以m>0.由三角函数定义知，cosα＝＝－，即m2＝，由m>0，得m＝.2.已知一圆弧的弧长等于它所在的圆的内接正三角形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数是(C)A.B.C.D．2设正三角形的边长为a，则它的外接圆半径r＝a×＝a，所以α＝＝＝.3．如果θ＝12rad，那么角θ的终边所在的象限是(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限因为<12<4π，所以θ为第四象限角，其终边在第四象限．4．点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(A)A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)设Q的坐标为(x，y)，则x＝cos(π－)＝cos(π－2π－)＝cos(π－)＝－.y＝sin(π－)＝sin(π－2π－)＝sin(π－)＝.5.α的终边与的终边关于直线y＝x对称，则α＝2kπ＋(k∈Z).因为的终边与的终边关于y＝x对称，所以α＝2kπ＋(k∈Z)．6．已知角α终边过点(，－1)，则2sinα＋cosα的值为.因为sinα＝＝－，cosα＝＝；所以2sinα＋cosα＝2×(－)＋×＝.7.如果角α的终边在直线y＝3x上，求cosα与tanα的值．因为角α的终边在直线y＝3x上，所以角α的终边在第一、三象限．当α的终边在第一象限时，因为直线过点(1,3)，因为r＝＝，所以cosα＝，tanα＝3.当α的终边在第三象限时，同理可得cosα＝－，tanα＝3.8．(2014·新课标卷Ⅰ)若tanα>0，则(C)A．sinα>0B．cosα>0C．sin2α>0D．cos2α>0由tanα>0得α在第一、三象限．若α在第三象限，则A、B都错．由sin2α＝2sinαcosα知sin2α>0，C正确．α取，cos2α＝cos＝－<0，D错．9．在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sicosθ＝，称sicosθ为“θ的正余弦函数”．若sicosθ＝0，则sin(2θ－)＝.因为sicosθ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y＝x上．所以θ＝2kπ＋，或θ＝2kπ＋，k∈Z.当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin(2θ－)＝sin(4kπ＋－)＝cos＝；当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin(2θ－)＝sin(4kπ＋－)＝cos＝.综上得sin(2θ－)＝.10．要建一个扇环形花园，外圆半径是内圆半径的2倍，周长为定值2l，问当圆心角α(0<α<π)为多少时，扇环面积最大？最大面积是多少？设内圆半径为r，则外圆半径为2r，扇环面积为S，因为αr＋α·2r＋2r＝2l，所以3α＝，所以S＝α·(2r)2－α·r2＝α·r2＝··r2＝(l－r)·r＝－r2＋lr＝－(r－l)2＋l2，所以当r＝l时，S取得最大值，此时3α＝＝2，α＝.当α＝时，S取得最大值l2.
