课题：7.8无穷等比数列各项的和学科：数学沪教版年级：高中二年级第一学期学校：湖北省应城市第一高级中学授课教师：方胜乐题型探究新课导学内容索引课堂小结新课引入新课引入情境一思考1有人说，𝟎.𝟗ሶ<1，你认为对吗？又有人说，因为𝟏𝟑=𝟎.𝟑ሶ，两边同乘以3，得𝟏=𝟎.𝟗ሶ.你赞同哪种说法呢？如果你认为𝟎.𝟗ሶ<1，那么𝟎.𝟗ሶ比𝟏小多少？能在𝟎.𝟗ሶ与1之间插入一个实数吗？思考2如果把你家和学校看做两个点，这两点间的距离是1000米，从家出发你先走了500米，然后再走剩余路程500米中的一半即250米，再走剩余路程的一半即125米，照此下去，理论上来讲，你永远也到不了学校，正所谓“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，而实际情况是，你早坐在了教室里上课，问题出现在哪里呢？家学校情境二思考3：芝诺悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。如果有一只乌龟在阿基里斯前100米的地方，乌龟的速度是1米/秒，而阿基里斯的速度是10米/秒。注意到追者首先必须到达被追者的出发点，然而当阿基里斯跑至乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬了10米，于是一个新的起点产生了，阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，他只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无数个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但阿基里斯就是追不上乌龟！情境三思考3：芝诺悖论芝诺，古希腊数学家、哲学家，埃利亚学派代表人物，被亚里士多德誉为辩证法创始人.在芝诺悖论中，由于乌龟不停的制造出新的起点，阿基里斯怎么也追不上乌龟。现实中，阿基里斯追上并超越乌龟是一件很容易的事情！新课导学1温故（1）对于无穷等比数列𝒂𝟏,𝒂𝟐,𝒂𝟑,⋯,𝒂𝒏,⋯,(I)通项公式：𝒂𝒏=_______________________(II)前𝒏项和公式𝑺𝒏=𝒂𝟏+𝒂𝟐+⋯+𝒂𝒏=__________________________1温故（2）极限：当𝟎<ȁ̏𝒒ȁ̏<1时，𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒒𝒏=𝟎运算法则：若𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒂𝒏=𝑨,𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒃𝒏=𝑩则𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ሺ𝒂𝒏±𝒃𝒏ሻ=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒂𝒏±𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒃𝒏=𝑨±𝑩𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ሺ𝒂𝒏⋅𝒃𝒏ሻ=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒂𝒏⋅𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒃𝒏=𝑨⋅𝑩𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒂𝒏𝒃𝒏=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒂𝒏𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒃𝒏=𝑨𝑩2情境再回顾情境1：𝟎.𝟗ሶ=𝟎.𝟗+𝟎.𝟎𝟗+𝟎.𝟎𝟎𝟗+⋯+𝟎.𝟗⋅𝟎.𝟏𝒏−𝟏+⋯而𝟎.𝟗，𝟎.𝟎𝟗，𝟎.𝟗𝟐，⋯，𝟎.𝟗𝐧−𝟏，⋯是以𝟎.𝟗为首项，𝟎.𝟏为公比的无穷等比数列，它的前𝒏项和为𝑺𝒏=𝟎.𝟗ሺ𝟏−𝟎.𝟏𝒏ሻ𝟏−𝟎.𝟏=𝟏−𝟎.𝟏𝒏.于是可把𝟎.𝟗ሶ看作𝑺𝒏当𝒏→∞时的极限，即𝟎.𝟗ሶ=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝑺𝒏=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞(𝟏−𝟎.𝟏𝒏)=𝟏因此，𝟎.𝟗ሶ=𝟏.情境2：𝑺=𝟓𝟎𝟎+𝟐𝟓𝟎+𝟏𝟐𝟓+⋯+𝟓𝟎𝟎⋅𝟏𝟐𝒏−𝟏+⋯=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝑺𝒏3新知：无穷等比数列各项的和符号：𝑺=𝒂𝟏+𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏+⋯=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝑺𝒏显然：(𝟏)𝒒=𝟏时，𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝑺𝒏=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒏𝒂𝟏不存在；ሺ𝟐ሻ𝒒=−𝟏时,𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝑺𝒏不存在；ሺ𝟑ሻȁ̏𝒒ȁ̏>1时，𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝑺𝒏=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒不存在；ሺ𝟒ሻ𝟎<ȁ̏𝒒ȁ̏<1时，𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝑺𝒏=𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒=𝒂𝟏𝟏−𝒒；当公比q在什么范围的时候该极限值存在呢？4定义：无穷等比数列各项和定义：我们把𝟎<ȁ̏𝒒ȁ̏<1的无穷等比数列的前𝒏项和𝑺𝒏当𝒏→∞时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号𝑺表示，即𝑺=𝒂𝟏+𝒂𝟐+𝒂𝟑+⋯+𝒂𝒏+⋯=𝒂𝟏𝟏−𝒒(𝟎<ȁ̏𝒒ȁ̏<1)5对定义的理解（1）无穷等比数列前𝒏项的和𝑺𝒏与它各项和𝑺的区别与联系：（2）运用公式求和的前提：𝟎<ȁ̏𝒒ȁ̏<1；（3）由无穷等比数列各项和的公式可知，求一个无穷等比数列各项的和，只要求出数列的首项与公比即可解决问题。前𝒏项的和𝑺𝒏是数列中有限项的和，而无穷等比数列各项和𝑺是数列中所有项的和，它们之间有着本质的区别；无穷等比数列各项和𝑺是其前𝒏项的和𝑺𝒏当𝒏→∞时的极限，是用有限手段解决无限问题；题型探究题型一运用求和公式直接求和解析例1.求无穷等比数列𝟏𝟐,𝟏𝟒,𝟏𝟖,⋯,𝟏𝟐𝒏,⋯各项的和.解： 𝒂𝟏=𝟏𝟐，𝒒=𝟏𝟐，所以前𝒏项和𝑺𝒏=𝟏𝟐ቀ𝟏−...
